河南省周口市鹿邑县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献、展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ）
A. 蔚来B. 理想C. 小鹏D. 哪吒
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 已知反比例函数的图像经过点，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把点代入反比例函数的解析式求出的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：已知方程（、、为常数，），①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程无实数根．
【详解】解：一元二次方程，
此时，，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
4. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成．
【详解】∵
∴
∴BC=3CE
∵BC+CE=10
∴3CE+CE=10
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确；
随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；
概率很小的事件也可能发生，故C错误；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；
故选A．
考点：随机事件．
6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有丁B. 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丁
【答案】D
【解析】
【分析】观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子中等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标.
【详解】解：
，
可得顶点坐标为（-1，-6），
根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为（1，-3），
所以错误的只有甲和丁.
故选D.
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标和配方法，解题的关键是掌握配方法化顶点式的方法.
7. 如图，小明同学用自制直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（ ）
A. 21.6mB. 6.6mC. 20.6mD. 7.6m
【答案】B
【解析】
【分析】根据即可求得的长，进而求得树高
【详解】解：依题意，
cm，cm，m，m，
m
m
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．
8. 拱形设计可以起到向上拉伸的视觉效果，增加空间艺术感，不管是在古代建筑还是现代家居中都应用广泛．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），总跨度为，拱的半径为，则拱高为（ ）
A. 5mB. 8mC. 12mD. 13m
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的运用、勾股定理，解答的关键是构建直角三角形．先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
【详解】解：延长到O，使得，则O为圆心，
由题意，跨度，拱的半径为，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴拱高，
故选：B．
9. 点，，在反比例函数的图象上，且有，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴函数图象在二，四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大，
由，可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为、的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴．
故选：B．
10. 如图，在矩形纸片中，，，点，分别为，上的点，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长，交于点，若，则折痕的长为（ ）

A. 8B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过点F作于点H，由折叠的性质可得，通过导角证明，进而证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：如图，与交于点O，过点F作于点H，

，
∴四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得，
，
，
又矩形中，，
，
，即，
又，
，
，即，
解得，
故选：C．
二、填空题．（每题3分，共15分）
11. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比为，
故答案为：．
12. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则a的值可以是_________．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据当时，y随x的增大而减小列式求解即可．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴a的值可以是1．
故答案为：1（答案不唯一）．
13. “北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为_________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题知，设，则，
解得，
即．
在中，由勾股定理得母线长为：
，
故答案为：13．
14. 水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是_________m．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度．
【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
∵点P是最高点，
∴设抛物线解析式为：，
将点D坐标代入，可得：，
解得：，
∴，
令，解得：，，
∴点，
∴，
故答案为：5．
15. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标是，过点A作，交x轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交x轴于，过点作轴交直线于，……，则_________，的坐标是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，应充分运用数形结合的思想方法，根据直线之间的垂直和平行关系推出相似三角形，并利用其性质进行求解，与此同时观察点的坐标特征，从中寻找规律．
根据矩形的性质及判定得到四边形是平行四边形，从而推出，由勾股定理即可求解，再由直线之间的垂直和平行关系利用相似三角形的判定定理得到，，，利用相似三角形的性质解得，，，进而观察图形根据点的坐标特征寻找出规律即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，且，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，
∴
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点坐标为，即，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，即，
以此类推...，的坐标为，
故答案为：，．
三、作答题．（本大题8小题，共75分）
16. （1）解方程：．
（2）如图，点D是的边上一点，．当，时，求的长．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的相似，熟料掌握相似三角形的性质求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
（1）先将方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；
（2）证明三角形，可得，即，进而可得的长．
【详解】解：（1）方程化为一般式为：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴（负值已舍），
∴的长为．
17. 如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
（1）在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________；
（2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出）
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）．
（1）对应点连接的交点即为位似中心；
（2）利用位似性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当点在第三象限时，如下图所示：
当点在第一象限时，如下图所示：
18. 为传承红色基因，学习红色精神，某班组织甲、乙、丙三个学习小组参观红色教育基地，三个小组分别从确山竹沟革命纪念馆，桐柏精神红色教育基地选择一个参观，用画树状图或列表的方法求三个小组参观同一个红色教育基地的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到三个小组参观同一个红色教育基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：将参观确山竹沟革命纪念馆、桐柏精神红色教育基地分别记为A、B，
画树状图为：
由树状图可知共有8种等可能的结果，三个小组参观同一个教育基地的结果有2种，
∴三个小组参观同一个红色教育基地的概率为．
19. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求：
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求扇形的面积
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可；
（2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
20. 某书店正在销售一种科幻书，它的进价和售价分别为30元和48元．
（1）该书店打算在元旦把这种科幻书进行降价促销，若按原售价进行销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售出3本，则将售价定为每本多少元时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为225元？
（2）在（1）的条件下，要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，则这种科幻书的售价应定为多少元？并求出最大利润．
【答案】（1）售价定为元/本
（2）售价应定价为元/本，最大利润为元
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用．
（1）设售价定为x元/本，使这种科幻书平均每天的销售利润为元，据此列方程并解方程即可；
（2）设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元，根据（1）即可得到w的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：设售价定为x元/本，则可列方程：
，
解得：，，
∴将售价定为35元/本时，才能使这种科幻书平均每天的销售利润为元．
【小问2详解】
设售价定为m元，平均每天的销售利润为w元，
则，
∵，
∴当时，w有最大值，为300，
∴要使这种科幻书平均每天的销售利润最大，这种科幻书的售价应定价为40元/本，最大利润为300元．
21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）点坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
小问1详解】
解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
【小问3详解】
解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
22. 【认识概念】
点P、Q分别是两个图形G1、G2上的任意一点，当P、Q两点之间的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形G1、G2的亲密距离，记为d(G1，G2)．例如，如果点M、N分别是两条相交直线a、b上的任意一点，则d(a，b)＝0
【初步运用】
如图1，长方形四个顶点分别是点A、B、C、D，边AB＝CD＝5，AD＝BC＝3．那么d(AB，CD)＝___，d(AD，BC)＝_____，d(AD，AB)＝_____．
深入探究】
(1)在图1中，如果将线段CD沿它所在直线平移(边AB不动)，且使d(CD，AB)不变，那么线段CD的中点偏离它原来位置的最大距离为______；
(2)如图2，线段AB∥直线CD，AB＝1，点A到CD的距离为3，将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB′，则d(AB′，CD)＝______．
【答案】【初步运用】d（AB，CD）＝3，d（AD，BC）＝5，d（AD，AB）＝0；【深入探究】（1）CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：5；（2）d（AB′，CD）＝2或3，
【解析】
【分析】[初步运用]根据图形G1、G2的亲密距离的定义可得结论；
[深入探究]（1）在图1中，注意线段CD平移的最远距离，可得结论；
（2）如图2，要分情况讨论，可以顺时针和逆时针旋转，根据亲密距离的定义解决问题．
【详解】解：[初步运用]
如图1，∵AB与CD的距离为AD＝3，
∴d（AB，CD）＝3，
∵AD和BC的距离为5，
∴d（AD，BC）＝5，
∵AD和AB交于点B，
∴d（AD，AB）＝0，
[深入探究]
（1）如图所示：
CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：5；
（2）将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB′或AB''，如图2，延长AB''交CD于E，
∴AB＝AB'＝AB''＝1，
∵AE＝3，
∴B''E＝2，
则d（AB′，CD）＝2或3．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和创新能力，题中通过介绍“亲密距离”来引出学生对动态图象最小距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能．在深度理解亲密距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常值得学生锻炼的题目．
23. 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_________，数量关系是_________；
（2）如图2，当时，求与的数量关系；
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接、、，如图3.已知，四边形的面积为18，求的长．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论；
（3）设，先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再结合勾股定理方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系是，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间数量关系是：；
（3）设，由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
∴，
∴由勾股定理得：
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.