湖南省新高考教学教研联盟2025届高三下学期第一次联考 数学试题

这是一份湖南省新高考教学教研联盟2025届高三下学期第一次联考 数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤lnx≤2}，B={2,5,9}，则A∩B=( )
A. {2}B. {2,5}C. {5,9}D. {2,5,9}
2.若(1+i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−z=( )
A. −2B. 4C. −2iD. 2i
3.已知a，b均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ=0”是“|a+b|=|a|−|b|”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.若甲组样本数据x1，x2，⋯，xn(数据各不相同)的平均数为5，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，⋯，3xn+a的平均数为12，则下列说法错误的是( )
A. a=−3
B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍
C. 两组样本数据的中位数可能相等
D. 两组样本数据的极差可能相等
5.(1+ 3tan80∘)(1− 3tan20∘)=( )
A. 2B. 4C. −1D. −3
6.已知f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3，且f(2)=3，则f(2025)的值为( )
A. 6072B. 6075C. 6078D. 6069
7.设F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，α，β分别为C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为1，且满足β=5α，则双曲线C的焦距为( )
A. 12B. 2C. 3D. 4
8.已知f(x)=x2e2x+a|x|ex+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2 2)B. (−2 2,+∞)C. (−∞,−2e−1e)D. (−2e−1e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则( )
A. C的离心率为12B. △PF1F2的周长为5
C. |PF1|的最大值为3D. |PF1|2+|PF2|2的最小值为8
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=b(a+b)，则( )
A. c100，称当天空气质量不达标.
(1)求a;
(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率;
(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联?
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)×(c+d)×(a+c)×(b+d)，
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，∠BAC=2π3，AB=AC=2，D是边BC上一点，将△CAD沿AD翻折至△PAD，且平面PAD⊥平面BAD.当△PAB面积最大时：
(1)求CD;
(2)求二面角A−PD−B的余弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=axex−(a+1)ex+x.
(1)当a0)的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是E上的三个点，直线AB，AC均与圆M:(x−2)2+y2=r2(r>0)相切，P是E上的任意一点，|PF|+|PM|的最小值为3.
(1)求E的方程;
(2)若r=1，求∠BAC的取值范围;
(3)若y1y2+y1y3+y2y3为定值，求r.
19.(本小题17分)
已知数列{an}满足：an+1=4an−4an−1−1(n≥2,n∈N∗)，a1=1，a2=3.
(1)若bn=an+1，证明：{bn+1−2bn}为常数列，并求{an}的通项公式;
(2)将a1，a2，⋯，a2025随机填入45×45的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等;
(3)将a1，a2，⋯，a2025所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和为Sn，证明：Sn2i1−1，
考虑另外的某行或列，不妨设aj1，aj2，⋯，aj45(记为(∗))，且j1>j2>⋯>j45，
则S′=aj1+aj2+⋯+aj45=(2j1−1)+(2j2−1)+⋯+(2j45−1)，
①若(∗)为行，则知i1，⋯，i45，j1，⋯，j45为互不相同的正整数，
不妨设i1>j1，则i1≥j1+1，
∴S′≤(2j1−1)+(2j1−1−1)+(2j1−2−1)+⋯+(2j1−44−1)
=(2j1+2j1−1+⋯+2j1−44)−45≤(2j1+1−1)−45≤(2i1−1)−45j>k>t，
由(2)可知ai+aj2>ai+ak2>ai+at2>aj+ak2>aj+at2>ak+at2，
故知所有算术平均数的排序应为：a1+a22