新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展29 立体几何中的结构不良问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)；
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
则两面的成角θ满足：cs θ＝cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)；
注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．
(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq \(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影长.
二、几种常见角的取值范围
①异面直线成角∈(0，eq \f(π,2)] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，eq \f(π,2)] ；④向量夹角∈[0，π]
三、平行构造的常用方法
①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.
四、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.
五、用向量证明空间中的平行关系
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
六、用向量证明空间中的垂直关系
(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法
二、题型精讲精练
【典例1】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
【详解】（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（2）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
【题型训练-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
(1)求证：；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，E为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若点F在内，且，从下面三个结论中选一个求解.
①求直线 与平面所成角的正弦值；
②求平面与平面所成角的余弦值；
③求二面角的余弦值.
注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.
3．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，为线段上一点，平面交棱于点.
(1)求证：;
(2)若直线与平面所成角为，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点到平面的距离.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
4．（2023·北京海淀·校考三模）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，分别是的中点，是上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图在几何体中，底面为菱形，.

(1)判断是否平行于平面，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面与平面所成角的大小；
（ii）求点到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，底面，为棱上的点，，.

(1)若平面，求证：点为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面
条件②：直线与夹角的余弦值为
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图在三棱柱中，为的中点，，.
(1)证明：；
(2)若，且满足：______，______（待选条件）.
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.
①三棱柱的体积为；
②直线与平面所成的角的正弦值为；
③二面角的大小为60°；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
9．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．
(1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2023·全国·高三专题练习）在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.
(1)求证：；
(2)在①图1中，②图1中，③图2中三棱锥的体积最大.
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.
问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．
(1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求点到平面的距离．
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点、分别为棱、的中点，点在棱上．
(1)若，求证：直线平面；
(2)若，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面与平面的交线为直线，与直线成角的余弦值为；
②二面角的余弦值为．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
13．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
(1)证明：F为PD的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
条件①：三角形BCF的面积为；
条件②：三棱锥的体积为1.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
14．（2023·北京·高三专题练习）如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，且，是线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)下列条件任选其一，求二面角的余弦值.
①与平面所成的角为；
②到平面的距离为.
注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分.
16．（2023·江苏·统考三模）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．
(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；
(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．
条件①：；
条件②：∠PED＝60°；
条件③：PM＝3ME：
条件④：PE＝3ME．