新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第36练 空间向量及其应用（精练：基础+重难点）（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
4．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
5．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
6．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
8．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
9．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
10．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．（2023·新疆和田·校考一模）如图，在三棱柱中，平面为线段的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角大小．
2．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，，AB⊥DA，AB∥CD．
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)设M是棱PC上的点，若二面角M-BD-A的余弦值为，试求直线BC与平面BDM所成角的正弦值．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面的距离；
4．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
6．（2023·全国·模拟预测）在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：
(1)求四棱锥的体积；
(2)若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．
7．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
9．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，，求平面与平面的夹角的余弦值.
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)若，Q是的重心，直线与所成角的余弦值为，求直线和平面所成角的正弦值．
11．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.

(1)求证:平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
13．（2023·北京·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求到平面的距离．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点E到平面的距离.
15．（2023·全国·高三专题练习）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．
16．（2023·全国·高三专题练习）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若正方形的变成为2，且二面角是直二面角，求点到平面的距离．
17．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设.
(1)证明：.
(2)设二面角的平面角为，且，求的值.
18．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中,为圆的直径,是上的两个三等分点,,,都是圆柱的母线.
(1)求证：平面;
(2)若已知直线与平面所成角为求二面角的余弦值.
19．（2023·河北·统考模拟预测）如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥中,平面,,正方形的对角线交于点O．
(1)求证:平面PAC;
(2)求二面角的余弦值．
21．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形为正方形，E，F分别为的中点，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
22．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使．
(1)求证：；
(2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
2．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）如图所示，直三棱柱中，，，.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.
4．（2023秋·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）如图， 在四棱锥中，平面ABCD，，，，. E为棱 PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F. 且.

(1)求证: F为PD的中点；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
6．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
7．（2023秋·四川内江·高三期末）如图，扇形的半径为，圆心角，点为上一点，平面且，点且，面．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值的大小．
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.

(1)求到平面的距离；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
9．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形平面，为上一点.
(1)平面平面，证明：；
(2)当二面角的余弦值为时，试确定点的位置.
10．（2023秋·云南保山·高三统考期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点，平面.

(1)求证：平面；
(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为；
若___________，求平面与平面夹角的余弦值.
11．（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接.

(1)当为上不与点重合的一点时，证明：平面；
(2)已知分别为的中点，是边长为的正三角形，四边形是面积为的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.
12．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥中，，，.

(1)证明：；
(2)若平面平面，平面平面，探索：是否为定值？若为定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由.
13．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，为直角梯形，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，为上一点，且．

(1)证明：直线∥平面;
(2)求二面角的余弦值．
14．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
15．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABD，E为AB的中点，，.

(1)证明：平面CED；
(2)当二面角的大小为30°，求与平面ACD所成角的正弦值.
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，，，E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将沿ED翻折，使得面面，点M是棱AC上一点，且面．

(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
18．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
(1)证明：若，直线平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，．
(1)证明：平面平面ABD；
(2)若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，等腰梯形ABCD中，，于点E，且，将梯形沿着DE翻折，如图乙，使得A到Р点，且.
(1)求直线PD与平面EBCD所成角的正弦值；
(2)若，求三棱锥的表面积.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图1，已知等边的边长为，点分别是边上的点，且满足，如图2，将沿折起到的位置．
(1)求证：平面平面；
(2)给出三个条件：①；②平面平面；③四棱锥的体积为，从中任选一个，求平面和平面的夹角的余弦值．
7．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的大小．
8．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．
(1)证明：平面ABC⊥平面AOM；
(2)记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[，]时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．
10．（2023·四川成都·川大附中校考二模）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.