新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第10讲 指数与指数函数（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数
【常用结论】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
6．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
题型一 指数幂的化简与求值
策略方法指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【典例1】计算：(1)；
(2)已知：，求的值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，化简二次根式的值是________
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）若，求的值．
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；
（2）已知是方程的两根，求的值.
题型二 指数函数的图像与性质
策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
【典例1】函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【典例3】比较下列几组值的大小：
(1)和； (2)和；
(3)和； (4)，，．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（ ）
A．6B．-2C．1D．4
6．（2023·天津·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数____________．
①；②对任意，当时，；③．
11．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
四、解答题
13．（2023·全国·高三练习）已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设不等式恒成立，试求实数的范围．
题型三 解指数方程与不等式
策略方法 指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】不等式对于恒成立，则的取值范围是______．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北·高三学业考试）设函数则满足的取值范围是
A．[-1,2]B．[0,2]C．[1,+）D．[0,+）
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习） ， ，,则实数的取值范围为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
8．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
题型四 指数函数的综合应用
策略方法 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．
【典例1】函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】 已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．不等式的解集是
D．是增函数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．或D．或
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
二、多选题
4．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
7．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
8．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
9．（2023·云南·校联考二模），其最大值和最小值的和为____________．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数方程与不等式
④指数函数的综合应用
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数