中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题11相似三角形中的“K”字型相似模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题11相似三角形中的“K”字型相似模型(原卷版+解析)，共53页。
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
3．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个
①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
8．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．
9．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
三、解答题
10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
11．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
13．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；
（2）若，且在同一直线上时，求的值．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证：；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
15．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
17．如图，在正方形中，点在上，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．
18．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
19．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．
(1)___________；当时，_________；
(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
20．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
21．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
22．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
特点
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
结论
CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
解决方案
“三垂直”模型
如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
“一线三等角”模型
如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得，即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8
∴∠BAG+∠DAE=90°
∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，
∴BF垂直平分AG
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠DAE=∠ABF，
∴△ABF∽△DAE
∴即
解之：AF=3．
故答案为：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）
A．6B．C．10D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得
，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．
【详解】解：过点作于，
在等边中，，，
在中，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵∠A=∠B=60°，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
已知
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
而,
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，
在Rt△ABE中，AE，
∵E是BC的中点，
∴AD＝6，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
4．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，或4，
或4，
当时，，则，
，
四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
5．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确．
【详解】解：∵，
∴，
∴不能说明，故①错误．
∵，
∴，
又∵
∴，故②正确．
如图连接BD，
由题意可知，
∵G和F分别为CD和BC的中点，
∴，
∵
∴，即，
∴
在中，，即,
解得
∴，故③正确．
∵，
∴，即，故④正确．
综上正确的有②③④共3个．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键．
6．如图，在中，．动点从点出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点从点出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动．已知点和点同时出发，设它们运动的时间为秒．连接．下列结论正确的有（ ）个
①；
②当时，；
③以点为圆心、为半径画，当时，与相切；
④当时，．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC，BD，AG，再用正切锐角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断④
【详解】解：在中，． ，
故①正确；
作AG⊥BD于G，
在Rt△ABC中，，
∵AD=AB=5，AG⊥BD
∴CD=AD-AC=5-3=2，DG=BG，
在Rt△DCB中，，
∴DG=BG=，
在Rt△BGA中，，
∴，
故②当时，正确；
AD=t，BE=2t，csA=，
当时，，，
∴，
∵，
∴csA=，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴与相切，
故③以点为圆心、为半径画，当时，与相切正确；
过E作EH⊥AC于H，
当时，
∵∠EHD=∠DCB=90°，
∴△EHD∽△DCB，
∴，
∵AE=5-2t，
∴AH=，EH=，，，
∴，
整理得，
因式分解得，
∴或（舍去），
故④当时，正确；
正确的结论有4个．
故选择D．
【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键．
二、填空题
7．如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．
【答案】
【分析】根据 正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.
【详解】解：四边形是正方形，，
，OA=OB=OC=OD，
∵,
∴，
，
，
，即
，，
，，
，解得
故答案为：.
【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.
8．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，将沿折叠使点落在点，连接并延长交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，则的长为________．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x，证明△BAF∽△ADE，推出，可得DE=，再证明AM=MD=6，在Rt△FGM中，利用勾股定理构建方程求解．如图2中，当DG=DE时，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图1中，当GD=GE时，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥CD于N．设AF=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，∠BAF=∠ADE=90°，
由翻折的性质可知，AF=FG，BF⊥AG，
∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=∠ADE=90°，
∴△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴DE=，
∵GM⊥AD，GN⊥CD，
∴∠GMD=∠GND=∠MDN=90°，
∴四边形GMDN是矩形，
∴GM=DN=EN=，
∵GD=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵∠GDA+∠GDE=90°，∠GAD+∠GED=90°，
∴∠GDA=∠GAD，
∴GA=GD=GE，
∵GM∥DE，
∴AM=MD=6，
在Rt△FGM中，则有，
解得或（舍弃），
∴AF=．
如图2中，当DG=DE时，
由翻折的性质可知，BA=BG，
∴∠BAG=∠BGA，
∵DG=FE，
∴∠DGE=∠DEG，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEG，
∴∠AGB=∠DGE，
∴B，G，D共线，
∵BD=，BG=BA=9，
∴DG=DE=6，
∵△BAF∽△ADE，
∴，
∴，
∴AF=，
综上所述，AF的值为或．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
【答案】
【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案为:．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
三、解答题
10．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相似，证明见解析
(3)存在，
【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；
(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；
(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）
证明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）
解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）
解：存在使得△AEF与△BFC相似．
理由：
假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：
①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；
②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC＝a，则AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF与△BFC相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
11．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【详解】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．
12．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
13．如图，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；
（2）若，且在同一直线上时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，再根据已知条件，即可证明≌，则，进而通过线段的和差关系求得；
（2）由勾股定理求得的长度，再由的面积求得的长度，则可用勾股定理求得的长度，则可得的长度，再由≌，求得的长度，在中，根据勾股定理即可求得，即可求得的值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴∽，
∴，
即
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E是边BC上一个动点（不与点B、C重合），AE的垂线AF交CD的延长线于点F，点G在线段EF上，满足FG∶GE＝1∶2，设BE＝x．
（1）求证：；
（2）当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；
（3）当∠FGD＝∠AFE时，求线段BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意可证明∠DAF＝∠BAE，又由于∠ABE＝∠ADF＝90°，即证明△ADF∽△ABE，所以．
（2）作GH⊥CF于H，根据题意可求出DF＝3BE＝3x，根据平行线分线段成比例得出，即可列出关于x的等式，从而得出GH和FH的长，即可求出HD的长，ct∠ADG＝ct∠DGH＝，即可求出结果．
（3）作EM//GD交DC于点M，即可知，可求出DM，从而求出CM，根据图形可证明△ABE∽△ECM，即可得到，即列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】（1）如图，因为AF⊥AE，
∴∠EAF＝∠BAD＝∠ADF＝90°．
∵同角的余角相等，
∴∠DAF＝∠BAE．
∵∠ABE＝∠ADF＝90°．
∴△ADF∽△ABE．
∴．
（2）由，得DF＝3BE＝3x．
如图，作GH⊥CF于H，那么GH//BC//AD．
根据题意结合平行线分线段成比例得：．
∵，，
∴．即GH＝，FH＝．
在Rt△GHD中，HD＝DF－FH＝＝＝，
∵∠ADG＝∠DGH，
∴ct∠ADG＝ct∠DGH＝＝=．
（3）当点G在△ADF内部时，很明显∠FGD和∠AFE不相等．所以点G在△ADF外部．
如图，作EM//GD交DC于点M，那么．
∴DM＝6x，
∴MC＝1－6x．
如果∠FGD＝∠AFE，那么AF//GD//EM．
∴∠AEM＋∠EAF＝180°．
∴∠AEM＝90°．
∴△ABE∽△ECM．
∴．即．
整理，得x2－9x＋1＝0．
解得，（不符合题意，舍去）．
所以BE＝．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，矩形，余角，平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
15．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．
（1）求证：；
（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．
【详解】（1），
，
，
在和中，，
；
（2）在中，，
，
，
，
由（1）已证：，
，即，
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．
（1）求证：①△MFC∽△MCA；
②若AB＝5，AC＝8，求的值．
（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．
【答案】（1）①见解析；②＝；（2）EF＝．
【分析】（1）①根据两角对应相等两三角形相似，证明即可．
②证明△AEF∽△ABC，推出＝，推出＝，推出△FAC∽△EAB，可得结论．
（2）利用勾股定理求出AM，AC，由MFC∽△MCA，推出＝，求出MF，AF，由△AEF∽△ABC，推出＝，可得结论．
【详解】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，
∴∠FAC＝∠MCF，
∵∠FMC＝∠CMA，
∴△MFC∽△MCA．
②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，
∴FG∥AE，CD∥AB，
∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，
∵∠AFG＝∠ACD，
∴∠FAE＝∠CAB，
∵∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∵∠FAE＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠EAB，
∴△FAC∽△EAB，
∴＝＝．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，
∵DM＝MC＝2，AD＝3，
∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，
∵△MFC∽△MCA，
∴＝，
∴FM＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
17．如图，在正方形中，点在上，交于点．
（1）求证：；
（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）点E为AD的中点．理由见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出两三角形相似的条件；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出，即可得出DE=AE．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△ABE和△DEF中，
∴△ABE∽△DEF ；
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵△ABE∽△EBF，
∴，
∴，
∴DE=AE，
∴点E为AD的中点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键．
18．如图，正方形ABCD的边长等于，P是BC边上的一动点，∠APB、∠APC的角平分线PE、PF分别交AB、CD于E、F两点，连接EF．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）当∠PAB＝30°时，求△PEF的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）由于PE平分∠APB，PF平分∠APC，所以∠EPF＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求证△BEP∽△CPF；
（2）由题意可知∠BPE＝30°，∠FPC＝60°，根据含30度的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）∵PE平分∠APB，PF平分∠APC，
∴∠APE＝∠APB，∠APF＝∠APC，
∴∠APE+∠APF＝（∠APB+∠APC）＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠BEP＝∠EPB+∠FPC＝90°，
∴∠BEP＝∠FPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEP∽△CPF；
（2）∵∠PAB＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠BPE＝30°，
在Rt△ABP中，
∠PAB＝30°，AB＝，
∴BP＝1，
在Rt△BPE中，
∠BPE＝30°，BP＝1，
∴EP＝，
∵CP＝﹣1，∠FPC＝60°，
∴PF＝2CP＝2﹣2，
∴△PEF的面积为：PE•PF＝2﹣．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
19．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．
(1)___________；当时，_________；
(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
【答案】(1),
(2)为定值，
(3)或
【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；
（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；
（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；
（1）
解：作于交于．
四边形是矩形，
，，，
．
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为4，．
（2）
结论：的值为定值．
理由：由，可得．，，，
，
；
（3）
①当点在线段上时，连接交于．
，所以只能，
，
，
，
，
垂直平分线段，
在中，，
，
，
，
．
②当点在的延长线上时，设交于．
，所以只能．
，
，，
，
，，
，
综上所述，的值为或4．
【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
20．【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）根据ASA证明；
（2）由（1）得，由折叠得，进一步证明，由勾股定理得，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点在点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE的长，再由勾股定理得，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如图，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②当点在点右边时，如图，
同理得，，
同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图2，在线段上取一点，使平分，延长，交于点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，可设，则，，再证明，由相似三角形性质即可用k表示出BF，从而求得比值；
（2）过点作于点，由可得，再证，从而，设，由角平分线性质可得：，，设，则，由列方程即可求出，再根据即可求出比值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
设，则，
，
又，，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（2）如解图2，过点作于点，
，，
，
，，
，
∴，
设，
平分，
，，
设，则，
，解得
而，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似进行求解．
22．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．
【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；
（3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解；
②根据二次函数性质求最值
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵点E为的中点，
∴
故答案为：；
（2）存在，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵Q是的中点，∴．
由折叠的性质得：，
当点P、、三点在同一条直线上时，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．
由题意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，则．
∵，
∴，
∴，
∴
；
②由①知，，
当时，四边形的面积取得最小值为，
∴最低造价为（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
特点
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
结论
CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
解决方案
“三垂直”模型
如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
“一线三等角”模型
如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.