2024-2025学年云南省昆明市高三上册开学摸底考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省昆明市高三上册开学摸底考数学检测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个命题中，是真命题为（ ）
A. 任意，有B. 任意，有
C. 存在，使D. 存在，使
3. 水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续6年的产量（单位：）如表所示：
甲、乙两种水稻连续6年产量
根据以上数据，下列说法正确是（ ）
A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则，B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A. 60种B. 120种C. 150种D. 240种
8. 已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ）
A. f（4）＜f（﹣1）＜f（）
B. f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C. f（）＜f（4）＜f（﹣1）
D. f（﹣1）＜f（）＜f（4）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上有且仅有一个零点
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程是
B. 焦点到准线的距离为4
C. 若，则的最小值为3
D. 以线段为直径的圆与轴相切
11. 已知函数，则（ ）
A. 时，函数在上单调递增
B. 时，若有3个零点，则实数的取值范围是
C. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________．
13. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______．
14. 在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和.
16. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
18. 在刚刚结束巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
（1）樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗㙳的是该局比赛结果，樊振东最终以9：11落败，求其以该比分落败的概率；
（2）在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望
19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
（3）以点E0,2为圆心，为半径圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
2024-2025学年云南省昆明市高三上学期开学摸底考数学
检测试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的意义即可得解.
【详解】依题意，，则，
所以的虚部为.
故选：A
2. 下列四个命题中，是真命题的为（ ）
A. 任意，有B. 任意，有
C. 存在，使D. 存在，使
【正确答案】C
分析】根据不等式性质推证或举例子说明.
【详解】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．
由于，当x=0时，不成立，故B为假命题．
由于，当x=−1时，，故C为真命题．
由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．
故选：C
3. 水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续6年的产量（单位：）如表所示：
甲、乙两种水稻连续6年产量
根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
【正确答案】B
【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误.
【详解】对于A：甲种水稻产量的平均数：，
乙种水稻产量的平均数：，
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故A不正确；
对于B：甲种水稻产量分别为，中位数为，
乙种水稻产量分别为：，中位数为，
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小，故B正确；
对于C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，
甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故C不正确；
对于D：甲种水稻的产量的方差为：
，
乙种水稻的产量的方差为：
甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，
乙种水稻的产量的方差小于甲种水稻的产量的方差，
所以乙种水稻的产量比甲种水稻的产量稳定，故D不正确，
故选：B.
4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用投影向量公式计算出投影向量.
【详解】在上的投影向量为．
故选：C
5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则，B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【正确答案】D
【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案．
【详解】对于A，若，可以在或内，当时，， A错误；
对于B，若，则或相交，B错误；
对于C，若，，则或异面，C错误；
对于D，由，得，当时，，D正确．
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
7. 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A. 60种B. 120种C. 150种D. 240种
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，获奖者按去到三个不同会场分类，利用分组分配列式计算即得.
【详解】依题意，5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
所以不同的派出方法有（种）.
故选：C
8. 已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）内为减函数，且f（x+2）为偶函数，则 f（﹣1），f（4），f（）的大小为（ ）
A. f（4）＜f（﹣1）＜f（）
B. f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C. f（）＜f（4）＜f（﹣1）
D. f（﹣1）＜f（）＜f（4）
【正确答案】A
【分析】为偶函数，可得，所以（4），，利用定义在上的函数在内为减函数，即可得出结论．
【详解】解：为偶函数，，
（4），，
，定义在上的函数在内为减函数，
（4），
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上有且仅有一个零点
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【正确答案】AD
【分析】代入验证可判断A；根据周期定义判断的关系可判断B；直接计算可判断C；根据平移变换可判断D.
【详解】对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确；
对于B，因为，
所以是函数的周期，B错误；
对于C，因为，所以在区间至少有两个零点，C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得，
即，D正确.
故选：AD
10. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程是
B. 焦点到准线的距离为4
C. 若，则的最小值为3
D. 以线段为直径的圆与轴相切
【正确答案】ACD
【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒
【详解】A：抛物线的准线为，故A正确；
B：焦点到准线距离为，故B错误；
C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部，
当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线的焦点为F1,0，
设的中点为，可得，
由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，
因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 时，函数在上单调递增
B. 时，若有3个零点，则实数的取值范围是
C. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
【正确答案】BD
【分析】根据函数求导后公式及结合的取值情况可对A项判断；，求出再结合函数极大小值即可对B项判断；求出函数的二阶导数，从而求出对称中心点即可对C项判断；根据函数存在极值点再结合令，求出，即可对D项判断.
【详解】对于A：求导，当时，有2个不相等的实根，，在区间上，单调递减，故选项A错误.
对于B：当时，令，得，，若有3个零点，则极大值，极小值，实数的取值范围是，故选项B正确.
对于C：令二阶导数，得，则三次函数的对称中心是.当直线与曲线有3个不同的交点，，，且时，点一定是对称中心，所以，故选项C错误.
对于D：若存在极值点，则，，.令，得，因为，于是，
所以，化简得：，
因为，故，于是，即.故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________．
【正确答案】
【分析】由直线的点斜式方程可得直线的方程，由点到直线的距离可得圆心到直线的距离，,结合勾股定理，即可得结论.
【详解】根据题意，设过点1,0且倾斜角为的直线为 ,
其方程为,即，变形可得，
圆 的圆心为2,0，半径 ,
设直线与圆交于点,
圆心到直线的距离,
则.
故答案为.
13. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______．
【正确答案】##0.5
【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，
则，，
所以在第1次抽到代数题条件下，第2次抽到几何题的概率为.
故答案为.
14. 在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为________．
【正确答案】24
【分析】首先根据面积公式，得到，并化简为，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】则的面积为，
则，所以，显然，
故，
当且仅当，即时取等号．
故24
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，且满足
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由和的关系式消去得递推式，由此构造等比数列；
（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.
【小问1详解】
当时，，解得
因 ①，
当时，②
①-②得，，即，
则，即，，又
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
【小问2详解】
法一、由（1）可得，即，

法二、由（1）可知，即，
又由题知：
代入可得
16. 如图，在边长为4正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取的中点Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则，由直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）取EF中点O，BC中点G，可得平面EFCB，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出与平面BFP的法向量的坐标，利用向量夹角公式求解.
【小问1详解】
取的中点Q，连接,
则有，且，又，且，
故，且，
则四边形EFPQ为平行四边形，则，
又平面，平面，故平面．
【小问2详解】
取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，，，
由P为中点，故，
则，，，
设平面BFP的法向量，
则，即，故取，
故所求角的正弦值为，
所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．
17. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求导得到切线斜率，进而求出直线即可；（2）求导，再参变分离，构造函数，转化为最值问题即可.
【小问1详解】
当时，，
且，
又， 所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为．
小问2详解】
因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上恒成立．
当且仅当在上恒成立，
则在上恒成立，
令，，
显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，得，
实数的取值范围为
18. 在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．
（1）樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗㙳的是该局比赛结果，樊振东最终以9：11落败，求其以该比分落败的概率；
（2）在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望
【正确答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可.
（2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望即可.
【小问1详解】
在比分为后张本智和先发球的情况下，樊正东以落败的情况分三种：
第一种：后四球樊正东依次为胜败败败，概率为，
第二种：后四球樊正东依次为败胜败败，概率为，
第三种：后四球樊正东依次为败败胜败，概率为，
所以所求事件的概率为：．
【小问2详解】
随机变量的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
数学期望为.
19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
（3）以点E0,2为圆心，为半径圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
（3）
【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程.
（2）设Ax1,y1，则可得，根据在椭圆上可得定值.
（3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围.
【小问1详解】
由题设有，且，故，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
设Ax1,y1，则，故，
而，故.
故为定值且定值为.
【小问3详解】
由题设.
圆，直线，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围.
年
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
2890
2960
2950
2850
2860
2890
乙
2900
2920
2900
2850
2910
2920
年
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
2890
2960
2950
2850
2860
2890
乙
2900
2920
2900
2850
2910
2920