河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题

这是一份河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数中，在内为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数y=fx在区间D上单调递增，且函数y=f′x在区间D上也单调递增（其中f′x是函数的导函数），那么称函数y=fx是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（ ）
A．B．C．D．
6. 设函数，则下列选项错误的是（ ）
A. 是的极小值点 B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
7．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．B．是的一个极值点
C．在上的平均变化率为1D．在处的瞬时变化率为2
10．设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．在单调递增B．在单调递减
C．在上有极大值D．在上有极小值
11．已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 .
13．已知f(x)是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是 ．
14．已知函数，使不等式 成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围．
16．已知．
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的单调区间．
17．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；
(2)当，探究在上的极值点个数.
数学答案
1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6 B
【详解】由题知恒成立，
当时，，所以，即单调递增；
当时，，所以，即单调递减.
令，，
则.
令，则，
令，
所以当时，，
即时，，单调递增，
所以函数的“快增区间”为.
7．C【详解】由成立，可得，
设，
则存在，使得成立，
即，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数a的取值范围是.
8．D所以在上，单调递减，
在和上，单调递增，
，．
因为恰有3个零点，
所以，解得．
9．BD【详解】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误；
因为，当时，，
且时，f′x>0，时，f′x0时，，即在(0,+∞) 上单调递增，
从而由偶函数性质得，在 上单调递减，
因此
即解集是
14．【详解】由题意，可得，
当时，，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以，解得.所以实数的取值范围是.
15．(1)
(2)．
【详解】（1）当时，，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取最大值，最大值为．
（2），，
则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以无极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意；
当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意；
当时，，在，上，，单调递增；
在上，，单调递减，
此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意．
综上，的取值范围为．
16．(1)
(2)函数的单调递减区间为，单调递增区间为和．
【详解】（1）当时，，∴，
∴切线斜率为，又，∴切点坐标为，
∴所求切线方程为，即．
（2），由，得或
由，得或，由，得
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和．
17．(1)答案见解析
(2).
【详解】（1）.
当时，令得，令得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，令得，令，得，
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，不是单调函数.
（2）由得，
∴.
∴，
∴.
∵在区间上总不是单调函数，且，
结合函数的图象可得，
由题意知对于任意的，恒成立，
∴，即，解得.
故m的取值范围为.
18．（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）存在，．
【详解】（1）当时，，所以，
令，得或，
所以当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
（2）存在，，理由如下：
，令，得或，
因为所以
所以当时，恒成立，所以在R上单调递增，此时函数不存在极值，所以；
当时，，所以当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在时，取得极大值，所以，即，解得，
所以存在，，使的极大值为3．
【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间．
19．(1)时，在上单调递增.理由见解析.
(2)当时，在上的极值点个数为0；
当时，在上的极值点个数为1.
【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性；
（2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数.
【详解】（1）时，，，，，所以在上单调递增.
（2）由，得，
依题意，只要探究在0,π上的变号零点个数即可，
令，x∈0,π，则，
(Ⅰ)当，即时，，此时在0,π上恒成立，
则即单调递增，，在0,π上无零点，
在0,π上的极值点个数为0.
(Ⅱ) 当，即时，
，使得，即，
当，；当，，
所以即在上单调递增，在上单调递减，
由于，，
若，即时，在0,π上无零点，
在0,π上的极值点个数为0.
若，即时，在0,π上有1个变号零点，
在0,π上的极值点个数为1.
综上所述，当时，在0,π上的极值点个数为0；
当时，在0,π上的极值点个数为1.
【点睛】方法点睛：利用化归思想，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，根据的取值范围对参数进行分类讨论.