北京九中2025年高一下学期开学考 数学（含解析）

这是一份北京九中2025年高一下学期开学考 数学（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间90分钟 满分100分）
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知集合，则的子集个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 18
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个大箱子内放有5本科学杂志和7本文学杂志，小张先从箱内随机抽取1本（不放回），小李再从箱内随机抽取1本，已知小张抽取的是文学杂志，则小李抽取的是科学杂志的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）
A. 90B. 120C. 140D. 150
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
9. 已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题（每小题4分，共计20分）
11. 若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为___________.
12. 设函数，则__________．
13. 已知函数为偶函数，且当时，，则时，____.
14. 已知，则的最小值为____，此时_________
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①在定义域上单调递增；
②存在最大值；
③不等式的解集是；
④的图象关于点对称．
其中所有正确结论的序号是________________.
三.解答题
16. 已知关于x的不等式的解集为．
（1）求实数m的值；
（2）正实数a，b满足，求的最小值．
17. 已知函数.
（1）根据定义证明函数在区间上单调递增
（2）求函数在区间上的最大值和最小值
18. 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求和的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 【答案】C
【分析】根据求出中元素个数，然后由集合子集个数公式求解即可.
【详解】因为，所以有4个元素，故子集个数为.
故选：C
2. 【答案】C
【分析】根据全称命题的否定写出即可．
【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”．
故选：C．
3. 【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在上单调递增；
对于B选项，函数为偶函数，且在上单调递增；
对于C选项，函数为奇函数，且在上单调递增；
对于D选项，函数为偶函数，且在上单调递减.
故选：D.
4. 【答案】C
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】小张抽取文学杂志后，剩下：本科学杂志和本文学杂志.
则小李抽取的是科学杂志的概率为.
故选：C
5. 【答案】C
【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.
【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，
因为函数在单调递减，且，所以，即，
因为函数在单调递增，且，所以，即，
所以，
故选：C
6. 【答案】D
【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果.
【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，
故选：D．
解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，
故选：D．
7. 【答案】B
【分析】求出对数复合函数的定义域，应用排除法，结合对数复合函数的性质即可得答案.
【详解】由解析式知，，即定义域为，排除A、C、D.
由，又在上递增，且时，
所以在上递减，在上递增，
故在上递增，在上递减，显然B满足.
故选：B
8. 【答案】A
【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．
【详解】依题意可得，
即，
所以．
故选：A．
9. 【答案】B
【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.
【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故
当和时，，当和时，，
故等价于和，解得，
故选：B
10. 【答案】A
【分析】根据函数在上的单调性，判断唯一零点，得到不等式组，求解参数范围.
【详解】由，可知在上单调递增，
因为在上存在零点，
所以在上存在唯一零点，
所以，即，
解得.
故选：A
二. 填空题（每小题4分，共计20分）
11. 【答案】
【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】由分段函数定义域分别求得即可得答案.
【详解】∵，
∴.
故答案为：
13. 【答案】
【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等.
【详解】当时，.
因为当时，，所以此时.
又因为是偶函数，即，所以当时，.
故答案为：.
14. 【答案】 ①. 6 ②. 4
【分析】通过变形构造出能使用基本不等式的形式，利用基本不等式来求最小值以及取得最小值时对应的变量值.
【详解】已知，因为，那么.
将变形为.
根据基本不等式，则有
先计算的值，，所以.
那么，即的最小值为.
当且仅当时，等号成立，此时取得最小值.
解方程，可得.
因为，所以，解得.
故答案为：；4.
15. 【答案】①③④
【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.
【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确；
由于，则，，函数不存在最大值，②错误；
不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确；
由于，因此的图象关于点对称，④正确，
所以所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三.解答题
16. 【答案】（1）
（2）9
【分析】（1）根据根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由（1）可得，结合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得和2是方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得．
【小问2详解】
正实数a，b满足，由（1）可得，
所以，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
所以的最小值为9．
17. 【答案】（1）证明见解析
（2），.
【分析】（1）先取值再作差，结合定义域判断的正负，从而证明出单调性；
（2）根据（1）中的单调性，确定出和.
【小问1详解】
任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增；
【小问2详解】
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，.
18. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可；
（2）先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数，由古典概型概率公式计算即可.
【小问1详解】
甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
【小问2详解】
由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件.
乙生产线的样品中优等品有件.
则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为.
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种，
其中符合条件的情况有共8种.
故所求概率.
19. 【答案】（1），
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解；
（2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可；
（3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以满足，又，可得，
解得，可得，
，是奇函数，满足题意，
所以，.
【小问2详解】
，在上单调递增，证明如下：
设任意，且，则
，
由，可得，
又，，，
则，则，
则在上单调递增；
【小问3详解】
对任意的，由在上单调递增，
可得，即，则在上的值域为，
的对称轴为，
当时，在上为增函数，
值域为，
由题意可得，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解.