新高考数学一轮复习考点题型训练 9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 分布列的性质】
1.（2022·华师大二附中高三练习）随机变量的概率分布列如下：
则___________.
2. （2022·河南高三月考）已知随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国高三课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
4. 随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
5. 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【题型二 求离散型随机变量的分布列】
1.（2022·四川模拟）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
2.（2022·武昌模拟）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现挑选5名队员参加比赛，设X表示其中种子选手人数，求X的分布列．
3．（2022·石家庄模拟）将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
4. （2022·临沂二模）为了解决家长接送孩子放学的问题，教育部提出推行课后服务“”模式，即学校每周5天都要开展课后服务，每天至少开展2h，结束时间要与当地正常下班时间相衔接，且不得利用课后服务时间讲新课.为了课后服务的有序开展，某教育局就课后服务的时长在网络上进行意见征集，并从中随机抽取了100份调查表，以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)从样本中随机抽取2份调查表，若其中一份调查表所建议的课后服务时长超过200 min，求另一份调查表所建议的课后服务时长也超过200min的概率；
(2)为了进一步了解课后服务时长的需求情况，从样本中建议课后服务时长超过180 min的人中分层抽取10人，再从这10人中任取3人，记建议课后服务时长在的人数为X，求X的分布列与数学期望.
5. 2022年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（简称“双减”政策）.某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示.
(1)求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数；
(2)从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望.
【题型三 离散型随机变量的均值和方差】
1.（2022·唐山二模）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2. （2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
则的最大值为（ ）
A．B．3
C．6D．5
3．（2022·高三课时练习）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（ ）
A．10B．117C．38D．35
4.（2022·广东高三模拟）1971年“乒乓外交”翻开了中美关系的新篇章，2022年休斯顿世乒赛中美两国选手又一次践行了“乒乓外交”所蕴含的友谊､尊重､合作的精神，使“乒乓外交”的内涵和外延得到了进一步的丰富和创新，几十年来，乒乓球运动也成为国内民众喜爱的运动之一，今有小王､小张､小马三人进行乒乓球比赛，规则为：先由两人上场比赛，另一人做裁判，败者下场做裁判，另两人上场比赛，依次规则循环进行比赛.由抽签决定小王､小张先上场比赛，小马做裁判.根据以往经验比赛：小王与小张比赛小王获胜的概率为，小马与小张比赛小张获胜的概率为，小马与小王比赛小马获胜的概率为.
(1)比赛完3局时，求三人各胜1局的概率；
(2)比赛完4局时，设小马做裁判的次数为X，求X的分布列和期望.
【题型四 均值和方差在决策问题中应用】
1.（2022·山东·高密三中高三阶段练习）2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
2．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图．由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
(1)试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
(2)为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过50，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为n．方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的逐个抽取n个小球，抽得红球个数即表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，以期望为决策依据判断哪个方案更佳？
3.（2022·济北中学高三月考）某学校的自主招生考试中有一种多项选择题，每题设置了四个选项ABCD，其中至少两项、至多三项是符合题目要求的．在每题中，如果考生全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．小明同学参加考试时遇到一道这样的多选题，他没有能力判断每个选项正确与否，只能瞎猜．假设对于每个选项，正确或者错误的概率均为．
(1)写出正确选项的所有可能情况；如果小明随便选2个或3个选项，求出小明这道题能得5分的概率；
(2)从这道题得分的数学期望来看，小明应该只选一个选项？还是两个选项？还是三个选项？
4. （2022·全国·模拟预测）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：
假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；
(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.
0
1
2
3
4
5
6
X
1
2
3
P
a
2a
3a
X
0
1
2
3
P
a
b
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
经济前景等级
悲观
尚可
乐观
问卷得分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
5
10
19
24
17
9
7
4
经济前景等级
乐观
尚可
悲观
物联网项目年回报率（%）
12
4
人工智能项目年回报率（%）
7
5