新高考数学一轮复习考点题型训练 7.2空间几何体外接球、内切球8大模型（精练）（2份，原卷版+解析版）

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【题型一 长方体、正方体模型】
1.（2022·陕西安康·高三期末）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，
则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为.
故选：B
2.（2022·海原县高三模拟）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C
3. （2022·陕西高三模拟）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】因为，，则，，
同理可证，，所以，、、两两垂直，
将三棱锥补成正方体，如下图所示：
正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，
设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
4. （2022·广西·贵港市高级中学三模）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．
将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：
外接球半径，所以外接球体积，
阳马—的体积为．．
故选：B．
【题型二 直棱柱模型】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积
故选：C．
2.（2022·河南·高三阶段练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，
易得球心即为中点，连接，易得，，
设外接球半径为，则，则.
故选：C．
3. 2022·全国高三模拟）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，
易得球心即为中点，连接，易得，，
设外接球半径为，则，则.
故选：C．
4. （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题意知：四边形的面积，
设点到平面的距离为，则，解得：，
又为中点，平面，；
，两两互相垂直，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球表面积.
故答案为：.
【题型三 正棱锥与侧棱相等模型】
1. （2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，
因为是正三棱锥，所以是的中心，
所以，,
又因为，所以
，
所以，
令，
解得
所以在递增，在递减，
故当时，取最大值，.
故答案为：.
2.（2022·全国·高三专题练习）如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在中，分别是棱的中点，
所以，因为，所以，
因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），
又因为面，，
所以面，因为面，所以，
在中，，
因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，
所以，,
所以，即，
所以两两垂直，
将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为,
则该正方体棱长为，外接球半径，
正方体外接球体积,
此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）．在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，设点G为的外心，则平面，
由，
∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，
由正弦定理得，在中，，
由勾股定理得，即，解得．
正三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．
4. （2022·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16πB．C．8πD．
【答案】B
【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，
则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，
于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的体积是.
故选：B
【题型四 对棱相等模型】
1. （2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
2. （2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为．
3. （2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：C
【题型五 共斜边拼接模型】
1. （2022.江西高三模拟）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在翻折过程中，始终不变，
所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，故选：D
2. （2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为
【答案】
【解析】因为矩形中，，点，分别是，的中点，
所以四边形和四边形是正方形，
又沿将四边形折起，使，
所以几何体是正三棱柱，，
设球的球心在底面的射影为，因此，
显然是等边三角形的中心，
，
在直角三角形中，，
所以球的表面积为，
3. （2022·安徽合肥市高三期末）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中点，连接、，如下图所示：
由题意，
因为，为的中点，所以，，
所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，
因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.
【题型六 垂面模型】
1.（2022·江西高三期末）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为外接圆的圆心，，
∴O在CD上，且，
．
，D为AB的中点，
，
∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
平面PAB．又DA，DB，平面PAB，
，，．
在中，，D为AB的中点，
．
．
∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积．
故选：B
2. 在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，
∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
3. （2022·重庆八中高三阶段练习）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：
因，则，有平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，
在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，
由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，
因平面平面，则，而，
即有四边形OO1EO2是正方形，则，
中，，则，
所求外接球的表面积.故选：B
【题型七 二面角模型】
1.（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD.
由题意可得D为AC的中点.
在中，，D为AC的中点，
因为，所以，则.
因为二面角是150°，所以，
所以，.
因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以.
设为外接圆的圆心，则.
设三棱锥外接球的球心为O，
因为，所以O在平面ABC下方，
连接，OB，OP，作，垂足为H，
则，.
设三棱锥外接球的半径为，
，即，解得，
故三棱锥外接球的表面积是.
故选：A.
2. （2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接
过作∥,且=，连接，则
∵△为等边三角形，则
∴，，根据题意可得
∵，则
由题意可得，则，则
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
三棱锥的外接球的表面积为
故选：D．
3. （2022·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在菱形中，，则为等边三角形，
设线段的中点为，连接、，则，
因为，则，同理可知，
所以，二面角的平面角为，即，
因为，则为等边三角形，所以，，
延长至点，使得为的中点，连接、，
易知，，则为等边三角形，可得，同理，
所以，为的外心，
延长至点，使得为的中点，同理可知点为的外心，
过点在平面内作，过点在平面内作，设，
因为，，，平面，
平面，，
，，平面，同理可证平面，
所以，为三棱锥的外接球球心，如下图所示：
因为，，，所以，，
所以，，则，
因为，由勾股定理可得，
因此，三棱锥的外接球半径为，
因此，三棱锥的表面积为.
故选：A.
【题型八 内切球模型】
1.（2022·江西·高三阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均为直角三角形，
设球的半径为r，则，
而，，
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
2. （2022·湖北·模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，
因为,故 ,则 ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，解得 ，
故内切球的体积为 ,
故选：B
3. （2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为，连接.
底面，.
，
，
，.
设四棱锥的内切球的半径为，球心为，
由，
得，
即，解得，
故四棱锥内切球的体积为.故选：B