新高考数学二轮复习解答题提分训练专题01 数列之累加法累乘法求数列通项（2份，原卷版+解析版）

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1．已知数列满足，，，求通项公式．
【答案】.
【分析】利用累加法和裂项相消求和法结合已知条件可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
，
……，
，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为满足上式，
所以.
2．已知数列满足，且，求数列的通项公式；
【答案】
【分析】由已知条件可得，再由递推及可得，最后再检验即可得到答案.
【详解】因为，所以，
，…，所以累加可得．
又，所以，所以．
经检验，，也符合上式，所以．
3．已知在数列中，，，求通项．
【答案】
【分析】把已知数列递推式变形，可得数列，通过累加法求出通项.
【详解】将两边同时取倒数得：，则，即，
所以，，，，
把以上这（n－1）个式子累加，得．
因为，所以．
4．设数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】由题意得，利用累加法，结合等比数列求和公式，即可得答案.
【详解】解：由已知，，
所以，
，
，
各项累加可得，
又，所以，
所以
5．在数列中，，，则数列的通项公式.
【答案】
【分析】利用累加法求解即可
【详解】由题意得，，
则，
，
……
，
.
由累加法得，，
即，
则时也满足 ，所以.
6．已知数列满足数列的通项公式
【答案】
【分析】根据题中条件，得到，由累加法求出结果；再验证是否满足所求式子即可.
【详解】因为，
所以，即，
则
，
当时，上式成立，故.
7．已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式.
【答案】证明见解析；
【分析】对两边取以3为底的对数，化简后结合可得，再求出，从而可得数列是以为首项，为公比的等比数列，进而得，所以，再利用累加法可求得的通项公式
【详解】且，，
，即，
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
，，…，，
各式相加可得：，
，
；
8．已知数列满足：，，（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；
(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，∴，
∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，
当时，
当n=1时，满足上式．
所以，．
9．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式及的表达式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据结合累加法整理可得，再利用等差数列的前项和公式求；（2）利用裂项相消法运算整理.
【详解】（1），，
两式相减得，即，
∴，则，
∴，…，，
采用累加法可得，则，即，
当时，，符合上式，
所以，
故数列为等差数列，则.
（2），
所以，
所以.
10．已知数列满足，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将和依次代入递推关系式即可求得；
（2）利用累加法即可求得.
【详解】（1），，，.
（2）由得：，
，
又满足，.
11．已知数列中，，且数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得的首项与公差，进而求得通项公式，再利用累加法求解即可；
（2）根据裂项相消求和证明即可.
（1）
，所以时，，
所以
（2）
，所以
12．已知，数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出的通项公式；
（2）由（1）可知，即可得到，利用裂项相消法求和即可；
(1)
解：因为，即，
所以，，…，，
以上各式相加得，
又，所以.
当时，，
故的通项公式为.
(2)
解：由（1）知，，
则，
故.
13．已知数列满足，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求n为何值时，最小．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出数列的通项公式；
（2）利用作差法判断数列的单调性，即可得到最小的；
(1)
解：由且，即，
即又，，所以．
当时，
，
当时，上式也成立．
所以数列的通项公式为；
(2)
解：由（1）可知．
当时，，即；
当时，；
当时，，即，
所以当或时，的值最小．
14．已知数列的前项和为，，数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)若数列满足，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；
（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.
（1）
解：由，得，
所以
又由，得，满足，所以，
而，所以，
所以；
（2）
证明：因为，
所以.
15．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求得数列的通项公式，由此求得.
（2）利用累加法求得.
【详解】（1）因为，
所以数列的公比为3，
又所以，
故.
（2）因为得
所以
所以：
所以：.（时也符合.）
二．累乘法
16．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【答案】.
【分析】根据，由累乘法即可求得.
【详解】由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
17．已知数列的前项和为，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将，分别代入中即可求得，；
（2）利用得出数列的递推关系，再由累乘法求得通项公式，要注意的验证．
【详解】（1）依题意有，得，
又，得；
（2）因为，所以当时，，
两式相减得，化简得，
所以，
又满足上式，所以．
18．已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）将和代入即可求值；
（2）根据和的关系，结合累乘法即可求解.
【详解】（1）当时，，即，
又，所以，
当时，有，解得.
故，.
（2）因为，所以，
两式相减得：，
即，
化简得：，
所以，即，
，
化简得：.
故的通项公式.
19．已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先等式变形为，利用累乘法求通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由条件可知，,
得，
当时，

，
当时，成立，
所以；
（2）由（1）可知，，
，
，
两式相减得，

20．（1）已知数列的递推关系为，求的通项公式；
（2）已知数列的递推关系为，求的通项公式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用累加法即可求出通项公式；
（2）利用累乘法即可求出通项公式；
【详解】（1）因为，，所以，
所以当时，
，
当时，也适合
所以的通项公式为.
（2）因为，，所以，
所以当时，.
当时，也适合，
所以的通项公式为.
21．已知数列的前项和为，且满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)-若数列的前项和为，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得，利用累乘法即可得数列的通项公式；
(2)利用裂项相消可得,即可证明.
【详解】（1）解：由已知，时，，
与已知条件作差得：
所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所以.
得证.
22．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用累乘法求出时，通过验证也满足，从而求出通项公式为，；
（2）根据第一问得到数列为等差数列，进而利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】（1）因为，，
所以当时，
，
又满足，
综上：，；
（2）由（1）知：，；
由等差数列求和公式可得：
23．设数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合累乘法即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）解：由，得，
当时，，
，即，
，
当时，上式也成立，
；
（2）解：，
，
，
两式相减得
，
所以.
24．已知是数列的前n项和，，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由求，用作差法，再集合累乘法即可求解；
（2）先表示出，再将裂项可求出的表达式可证.
【详解】（1）解：当时，可得．
当时，，
所以，
所以，所以．
因为，所以，
时也符合，故．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以．
因为，所以．得证
25．在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知数列的前项和的方法，构造的式子，两式做差后化简，再结合累乘法求通项公式；
（2）根据（1）的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为，则
当时，，
当时，，
与相减，得，
所以，又，所以，
所以当时，，
当时，满足上式，当时，上式不成立，
所以
（2）知，
因为，
所以当时，，
当时，
．
显然当时，上式成立，所以．
26．已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；
（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
27．已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，求数列前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由与的关系结合题意可求得等比数列的公比为q，进而得到，
由累乘法可求得；
（2）由错位相减法求解即可
【详解】（1）设等比数列的公比为q，由，
得，所以，即，故，
当时，，故，
故数列的通项公式为；
由得，
故，，，…，，，
以上个式子相乘得，，
故，验证也符合上式，
所以．
（2）由，结合（1）可得，
所以，
，
两式相减得，
所以，
故．
28．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义，写出数列的通项公式，整理可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；
（2）利用分组求和法以及等差数列求和公式，可得答案.
【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，则，
即，当时，，两式相减可得：，整理可得，
故，将代入上式，，
故的通项公式为.
（2）由，则.
29．已知数列中，，是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与关系可推导得到，利用累乘法即可求得；
（2）由，结合可得，并由此得到；采用裂项相消法可整理得到，由可证得结论.
【详解】（1）由得：且；
当且时，，
整理可得：，，
则，，，，，
各式相乘得：，又，
.
当时成立，故.
（2）由得：，
，
，
又，.
30．已知数列的前n项和为，若，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）先赋值求出，再仿写式子相减，得，再利用累乘法进行求解；
（2）先化简，再利用裂项抵消法进行求和.
（1）
在中，
令，得，解得，
因为，
所以当时，，
两式相减，得，
所以，
即（），当时，符合该式，
所以，
又因为满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）
因为，
所以
，
所以．