安徽省2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析

这是一份安徽省2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析，共16页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式，求出集合，然后进行交集的运算即可.
【详解】由解得：或，
因为，所以.
故选：B
2. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.
【详解】若，则成立；
若，则或，故不一定成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 计算（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算公式可得答案.
【详解】.
故选：C.
4. 已知正数，满足，则的最小值是（）
A. 6B. 16C. 20D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】将所求式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正数，满足，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D
5. 计算（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】因为.
故选：B
6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）
A. B. C. 7D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：C.
7. 将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.
【详解】将函数向右平移个单位，得到，
再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
故选：A
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，即，
令，由①得：，
解得：，所以．
又因为，
即，则，所以函数是以为周期的函数，
所以
．
.
故选：D
【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：
（1）是偶函数，则；
（2）是奇函数，则.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）
9. 已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数单调性和反例可得答案.
【详解】对于A，，而，故A不正确；
对于B，因为为减函数，，所以，故B正确；
对于C，因为为增函数，，所以，故C正确；
对于D，，而，故D不正确.
故选：BC.
10. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，.下列结论正确的是（）
A. 对，若，则B. 函数是上的奇的数
C. 对任意实数，D. 对任意实数，
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A；通过举例来判断BC；设，其中为的整数部分，为的小数部分，，分，讨论计算来判断D.
【详解】对于A：对，若，则，即，故A正确；
对于B：例如，，即，
故函数不是奇函数，故B错误；
对于C：取，，，不满足，
故C错误；
对于D：设，其中为的整数部分，，为的小数部分，，
则，，
若，可得，，
若，可得，，
所以对任意实数，，故D正确；
故选：AD.
11. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC，举反例根据对数函数单调性判断D.
【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，A正确；
对于B：因为，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：当时，满足，
但是，故D错误；
故选：ABC.
12. 已知函数的图象关于直线对称，则（）
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增D. 函数在区间上的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，；
因为，所以，即.
，故A正确；
，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
令，由可得，
因为，所以函数在区间上不是单调函数，故C不正确；
令，由可得，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 命题“”的否定是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.
【详解】因为“”的否定是“”
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.
【详解】因为是周期为2的奇函数，所以，
因为当时，，所以，所以.
故答案为：
15. 已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，利用对数函数单调性求解即可.
【详解】因为偶函数在单调递减，，所以在上单调递增，，
所以等价于，所以，
所以，解得.所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数，区间（且）满足：在区间上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间中，的最小值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．
【详解】令，解得或，，
即的相邻两零点间隔为或，
故若在上至少含有20个零点，则的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数，设集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得恒成立，即求解；
（2）化简，由题意得求得答案.
【小问1详解】
由，即恒成立，
，解得.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由，是的充分条件，
所以，得，即，解得.
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数周期为，其中．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；
（2）利用五点法画图可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，所以；
令，，解得，
故函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
描点，连线，其简图如下
19. 已知函数是奇函数．
（1）求实数的值并判断函数单调性（无需证明）；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），减函数
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据奇偶性求出，再根据复合函数单调性可判定单调性；
（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.
【小问1详解】
因为是奇函数，所以，解得；
当时，，定义域为，
又符合题意.
所以，因为为增函数，所以为减函数.
【小问2详解】
等价于，
即；
因为为减函数，所以，即；
令，则上式化为，即；
所以.
20. 中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本（万元），当年产量不足70台时，（万元）；当年产量不小于70台时，（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
【答案】20.
21. 90台时利润最大.
【解析】
【分析】（1）分、两种情况分别求出函数关系式即可；
（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
由题可知当时，，
当时，，
所以；
【小问2详解】
当时，，
则时，有最大值（万元）；
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以，所以当时，有最大值（万元）；
综上，年产量为90台时，该厂在这一商品生产中所获利润最大.
21. 已知函数为奇函数，且图象相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的最小值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为试确定的值，并求的值.
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据周期及奇偶数性求出的解析式，再令，利用二次函数性质求解最小值即可；
（2）根据三角函数图像变换求得，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得以及的值.
【小问1详解】
.
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，所以，因为，所以，
所以函数.所以，
令，则，
故原函数最小值为的最小值，其对称轴为，
在单调递增，在单调递减，且，
所以时，有最小值，
所以的最小值为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到，
令，则，
因为，所以，令，则，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有6个交点，
所以方程在上共有6个根，即，
因为
，
所以.
22. 对于函数，为函数定义域，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.
（1）若函数是“同比不增函数”，求的取值范围；
（2）是否存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）由恒成立，分离常数，结合三角函数的最值来求得的取值范围.
（2）结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.
【小问1详解】
因为函数是“同比不增函数”，则恒成立，
所以恒成立，所以，
即，由于，所以.
所以的取值范围是.
【小问2详解】
存在，理由如下：
，画出的图象如下图所示，
的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，且.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.
0
0
0
2
0