安徽省淮南市、淮北市2025届高三上学期第一次质量检测数学

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|(x+1)(x−2)0，且ab=2a+b+16，则ab的最小值为 .
14.如图，点M，N分别是正四棱锥P−ABCD的棱PA，PC的中点，设PD∩平面BMN=Q，则PQ与PD长度之比为 ，四棱锥P−ABCD被平面BMN分成上下两部分体积之比为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanB=2csA，b2+c2−a2= 3bc.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若D为AB边上任意一点，作AE⊥CD于E，设∠BCD=θ，试用θ表示AECD，并求AECD的最大值．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD= 2AD，点M在线段PD上，PM=3MD.
(Ⅰ)求证：AM⊥平面PCD；
(Ⅱ)求平面MAC与平面PAB夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x−a)2+(y+2a−4)2=1(a∈R)，点P(0,−3).
(Ⅰ)若圆心C在直线x+y−3=0上，过点P作圆C的切线，求切线方程；
(Ⅱ)若圆C上存在点Q，使|PQ|=2|OQ|，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1).
(Ⅰ)求证：当x>0时，f(x)0时，f(x)>ax恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)求证：对任意n∈N ∗，e12