浙江省温州市2025届高三(下)学业水平评估数学试卷（解析版）

这是一份浙江省温州市2025届高三(下)学业水平评估数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，所以.
故选：C.
2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误；
对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确；
对于C，，故共面，不符合要求，故C错误；
对于D，，故共面，不符合要求，故D错误；
故选：B.
3. 圆心为且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易知抛物线的准线方程为；
圆心到准线的距离为，所以该圆的半径为2；
所以圆的方程为.
故选：C.
4. 已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98，110，m，120，且上四分位数为118，则（ ）
A. 115B. 116C. 117D. 118
【答案】B
【解析】由题意，上四分位数为98，110，m，120从小到大排列的第3、4位的平均数，
当时，上四分位数为不合题意；
当时，上四分位数为，解得，满足题意.
故选：B.
5. 已知数列满足，则数列中的最小项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，
因此，
由于且，故中的最小项为，
故选：B
6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】由于，故为锐角，故,
故
故选：B.
7. 如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（ ）
A. B.
C. D. 条件下，
【答案】BD
【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9个格点中依次取不同的两点共有个不同的向量，
对于A，，由于，故，且方向相同，
所以只能在只能在,只有这一种情况，故，A错误，
对于B，由于，
所以可以为共18种，
所以，B正确，
对于C，，则，
故可以为共4种，所以，C错误，
对于D，在条件下，
可以为共16种,
满足有，故概率为，D正确，
故选：BD.
8. 已知函数与（且）在上都是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若，则，从而不是上的增函数，不满足条件；
若，则对有，且
.
所以和都是上的增函数，满足条件.
若，则.
取，则，从而对有
.从而在上递减，不满足条件.
综上，的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由可知，，故AB正确；
由于，故，C正确；时，故D错误；
故选：ABC.
10. 将下列平面四边形中的沿对角线翻折成，使二面角为直二面角，其中四面体的外接球的半径等于2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，如图：,解得，故A正确；
对于B，底面圆的半径为,而，故B错误；
对于C，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，故的中点即为球心，故；故C正确；
对于D，由于和均为直角三角形，且二面角为直二面角，取中点为，中点为,则,结合二面角为直二面角，是两平面的交线，故平面，平面，故,
因此,
故的中点即为球心，故，D正确.
故选：ACD.
11. 给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A. 是“广义等差集合”
B. 是“广义等差集合”
C. 若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D. 若P不是“广义等差集合”，若最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【解析】对于A, 取，则符合“广义等差集合”定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知二项式的展开式：，则___________．
【答案】
【解析】由题意，，故.
故答案为：
13. 若角的终边逆时针旋转后经过点，则____________．
【答案】或0.6
【解析】由题意可知，
故，
故答案为：.
14. 已知P为椭圆上一点，分别为椭圆的左，右焦点，直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若，则椭圆的离心率等于____________．
【答案】或
【解析】取的中点为，设，则,
由余弦定理可得.
，故，
又，故，
进而可得，
因此，故，
又，故，
因此，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处的切线垂直于轴．
（1）求实数的值；
（2）求函数的极小值．
解：（1）由可得，
则，
由于，故，
（2），
当或时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极小值为
16. 为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，抽取了200名高三年级的学生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
（1）根据身高的频率分布直方图，求列联表中m，n的值；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联？
（3）用样本频率估计总体的概率，在全市不低于的学生中随机抽取2人，其中不低于的人数记为，求的期望．
附：，
解：（1）由图可知：低于170cm的学生有名，则不低于170cm的学生有90名，从而，
（2）由题意可得
故，
故认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联.
（3）可以取0，1，2，抽中不低于175cm的概率为，
故,故
17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，直线与平面所成的角为．
①求的值；
②当时，求的最小值．
（1）证明：由于平面平面故
由于底面为直角梯形，故，
过，且与相交于，
则，
又，
故,所以,
由于平面，，
所以平面，
（2）解：①由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接,
由于平面平面故
,平面，
故平面，平面，故，
故为二面角的平面角，
所以从而，
②以为原点，以为轴，以过且垂直于平面的直线为轴建系，
则，设，
从而
设平面法向量为，
则，
令，则，
而平面的法向量为，
所以
即，
又，代入上式可得
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
18. 已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）用表示点的坐标；
（3）求证：数列是等比数列．
（1）解：由题意可得，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）解：过作斜率为的直线方程为，
联立其与双曲线方程可得，
设,
由于在抛物线上，所以
则，
所以，
故
（3）证明：设，
由于在双曲线上，所以，
则，
化简可得，，故，
所以，
,
所以，
故是等比数列.
19. 已知函数．
（1）当时，判断的奇偶性；
（2）当为偶数时，方程有解，求的最小值；
（3）若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
则，
故为偶函数，
（2）当n为偶数时，
由于，
则的周期为，且关于对称，
所以只需要讨论在上的值域，
由于，，
故恒成立，所以在单调递减，
，
所以，
其中时，，
时，，
故的最小值为24，
（3）当是偶数时，由（2）知，
故恒有，当时恒为1，
要使存在，使得关于的不等式恒成立，
所以只需要恒成立，
由于，
当时，恒成立，只需要，
当时，恒成立，只需要，
因此是偶数时，，
当是奇数时，设，则恒成立，
而，从而，
令，，
取
反之当时，
令，等式左边，
所以等式左边的最小值为
综上可得性别
身高
合计
低于
不低于
女
m
20
男
50
n
合计
200
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
性别
身高
合计
低于
不低于
女
60
20
80
男
50
70
120
合计
110
90
200