浙江省温州市2025届高三下学期第二次适应性考试数学试卷（解析版）

这是一份浙江省温州市2025届高三下学期第二次适应性考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线的一个焦点为，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以．
故选：A.
2. 扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A. 1B. C. 3D. 6
【答案】C
【解析】设圆心角为，所以，所以3
故选：C.
3. 已知随机变量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由知，可知，故，故成立；
反之，若，则，故为充要条件，
故选：C.
4. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设投影向量，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D.
5. 已知数列满足，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
得，
所以．
故选：B
6. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D
7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ）
A. 与
B 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，
对于A选项，，
所以，函数的振幅为，函数的振幅为，
所以，这两个函数的振幅不相等，
故与的图象不能通过平移重合，A错；
对于B选项，，
，
函数的振幅为，函数的振幅为，
所以，与的图象不能通过平移重合，B错；
对于C选项，因为，，
将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对；
对于D选项，，
函数与的图象不能通过平移重合，D错.
故选：C.
8. 一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（ ）（加工过程中不计损耗）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为，
棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则，
所以球与圆台围成部分可更大，
记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于，
设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切，
设，则，则，
所以，得．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知二项展开式，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A项：令，则，故A正确；
B项：令，则①，
所以，故B错误；
C项：，所以，
，所以，所以，故C正确；
D项：令，则②，
①+②可得：，故D正确．
故选：ACD
10. 在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（ ）
A. B.
C. 平面D. 平面
【答案】BD
【解析】如图，过点作交于点，连接，即有平面，
由于，所以，
若，则，又平面，平面，
所以平面，由平面，
得平面平面，又平面，所以平面，故B正确；
若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确；
假设平面，设平面，则，
若平面，平面平面，所以，
反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误；
若，可能，也可能与相交．
若与相交，由知延长必与、交于同一点，
由几何关系知与不平行，故A、C错误．
故选：BD
11. 甲乙两人用《哪吒2》动漫卡牌玩游戏．游戏开局时桌上有盒动漫卡牌，每个盒子上都标有盒内卡牌的数量，每盒卡牌的数量构成数组，游戏规则如下：两人轮流抽牌，每人每次只能选择其中一盒并抽走至少一张卡牌，若轮到某人时无卡可抽，则该人输掉游戏．现由甲先抽，则下列开局中，能确保甲有必胜策略的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】将每盒卡牌中的卡片数量转为二进制数，
再进行亦或求和，
若初始条件是全零，则乙有必胜策略，
反之则甲有必胜策略，保持操作之后是全零状态.
A项：，非全零，甲胜：从第2盒中拿2个，故A符合题意；
B项：，全零，乙胜，故B符合题意；
C项：，非全零，甲胜：拿走第三盒，故C符合题意；
D项：，非全零，甲胜：从第1盒中拿2个，故D符合题意；
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12. 若复数是纯虚数，则实数__________．
【答案】2
【解析】由题意得．
故答案为：2
13. 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________．
【答案】
【解析】设，则，
所以，解得，
设抛物线在处切线的斜率是，因为，所以，
所以在函数上，所以，所以．
故答案为：.
14. 函数满足：①②，．则的最大值等于__________．
【答案】
【解析】设且，
令，
则有，
即，
设，则，
即，
所以有解，，
所以的最大值等于．
故答案为：
四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱锥中，是边长等于2的正三角形，，为的中点．
（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离．
（1）证明：作中点，连接，则，
又，所以，
又因为是正三角形，且为中点，因此，
从而平面，
又平面，所以．
（2）解：由题，，，，则.
在中，，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
设平面与平面夹角为，
由，知.
在中，由余弦定理得，解得，
设点到平面的距离为，则．
16. PageRank算法是Ggle搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）．
（1）求该用户第3次停留在网页上的概率；
（2）某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．
解：（1）、；；；.
第3次停留在网页上的事件有、，
其概率为．
（2）由题意知，、；；；，
则，
所以，
，
所以，
故该公司应该选择网页．
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围；
（3）当时，解方程．
解：（1）因为（），
所以（），
当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增；
当时，由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在定义域内单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点；
当时，考虑到，为使内有零点，则极小值点小于零，即，
结合，则的取值范围为．
（3）由题，，记上式为，
则在定义域内单调递减，因此，仅有一个解，
注意到待求方程，
对中含的部分单独考察，即，其中关于的多项式的解为，
因此时可消去．
当时，有，满足题意；
当时，有，不符合题意；
综上，原方程的解为．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为．
（1）求的方程，并在图中画出该曲线；
（2）直线过点，与交于，两点，
（i）若，求直线的方程：
（ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值．
解：（1）设，则有，
当时，化简得；
当时，化简得，
所以，曲线如图所示：
（2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上．
设，
解得，所以，所以，
所以直线方程为．
（ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以．
设，，联立椭圆方程，得
，
则，
因为，，，
则
所以，
即，
所以，所以，
解得，即的最小值为.
19. 给定正数与无穷数列，若存在，当时，都有，则称数列具有性质．
（1）求证：数列具有性质；
（2）若无穷数列具有性质，求证：存在正数，使得；
（3）若对任意正数，数列都具有性质，则称为“—数列”．若正项数列是“—数列”，试判断数列是否也是“—数列”，并证明你的结论．（注：）
（1）证明：取，则当时，
所以数列具有性质．
（2）解：，当时，都有，
当时，，
所以，
取，则．
（3）我们先证明：
1），恒有，这由切线放缩易证．
2），当时，恒有，即．
若不然，，使得．
取，则，矛盾！（类似（2）中证明）
下证也是“—数列”．
，当时，
而由于是“—数列”，取，则，
当时，有，
所以，
所以也是“—数列”．