【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题14 数学归纳法（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共7页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、解答题
1．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，.
2．（2019·全国·高三竞赛）设.证明：.
3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式．
4．（2019·全国·高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：
（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
5．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求．
6．（2019·全国·高三竞赛）已知数列满足， .证明：
7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数数列满足,.其中,表示不超过实数的最大整数.求.
8．（2019·全国·高三竞赛）给定正整数，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.
9．（2019·全国·高三竞赛）设为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
10．（2019·全国·高三竞赛）设，已知个正实数，，…，使对任意、，有，证明：·
11．（2019·全国·高三竞赛）已知各项均不小于1的数列满足：，，，试求：（1）数列的通项公式；
（2）的值.
12．（2019·全国·高三竞赛）数列定义如下：对任何正整数，. 证明：存在无数个的取值，使对一切正整数，有.
13．（2019·全国·高三竞赛），，给定，，.证明：对任意、，.其中，表示与的最大公约数.
14．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有.
15．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数.
16．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的, .
17．（2018·四川·高三竞赛）已知数列满足：，若对任意正整数，都有，求实数的最大值.
18．（2018·全国·高三竞赛）一束直线的每条均过xOy平面内的抛物线的焦点，与抛物线C交于点、.若的斜率为1，的斜率为，求的解析式.
19．（2018·广西·高三竞赛）设为非负数，求证：.
20．（2018·全国·高三竞赛）设为正整数数列，且对任意满足；的正整数m、n，存在正整数，使得．试对每一个固定的，求的最大值．
21．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，．
22．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足．
（1）求证：．
（2）是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在．请说明理由．
23．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．
24．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．
25．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：.
26．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．
27．（2021·全国·高三竞赛）设n为不小于3的正整数，在正n边形中，选取一些对角线，满足其中的任两条对角线若在多边形内部相交则一定垂直．问：最多可选取多少条对角线？
28．（2021·全国·高三竞赛）设是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.
29．（2021·全国·高三竞赛）给定整数.求具有下列性质的最大常数，若实数列满足：，则.
30．（2021·全国·高三竞赛）已知数列满足：，且对于任意正整数，均有.
求证：（1）；
（2）数列为单调数列.
31．（2021·全国·高三竞赛）对于数列，若存在常数使得对任意正整数成立，则称是有界数列．已知数列满足递推式，求证：
（1）若，则不是有界数列．
（2）若，则是有界数列．
32．（2021·全国·高三竞赛）某个会议有若干人（至少3人）参加，现要将这些人分组．分组前，每个人都选择两个人．若被选择的两个人同组．则选择他们的人不能在这组中．求最小的正整数，使无论有多少人参加，且无论每人如何选择，都可以将他们按要求分成组．
33．（2019·全国·高三竞赛）在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幕（即形如，其中，是某个正整数）．
34．（2019·全国·高三竞赛）求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.
35．（2019·全国·高三竞赛）已知数列满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
36．（2019·全国·高三竞赛）对给定的正整数，定义表示的各个数位上的数字之和的平方，当且时，表示的各个数位上的数字之和的次方，其中，当为奇数时，；当为偶数时，，试求的值．
37．（2019·全国·高三竞赛）试证：对任何正整数，存在唯一的正奇数对，使得
38．（2019·全国·高三竞赛）证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.
39．（2019·全国·高三竞赛）将一枚棋子放在一个的棋盘上，记为从左、上数第行第列的小方格，求所有的四元数组，使得从出发，经过每个小方格恰一次到达（每步为将棋子从一个小方格移到与之有共同边的另一个小方格）.
40．（2019·全国·高三竞赛）设为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.
41．（2019·全国·高三竞赛）已知个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.
42．（2019·全国·高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有.
(1)求;
(2)假设是100个两两不相等的自然数,求;
(3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.
43．（2019·全国·高三竞赛）正整数数列满足：，．试求通项公式．
44．（2019·全国·高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.
45．（2019·全国·高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，.
46．（2019·全国·高三竞赛）已知，．求证：对一切，，…，，均有，等号当且仅当时成立．
47．（2018·山东·高三竞赛）已知数列满足：，，．求证：．
48．（2018·江西·高三竞赛）求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．
49．（2018·全国·高三竞赛）求正整数n的最大值，使得对任意一个以为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻.
50．（2018·全国·高三竞赛）已知有n(n≥4)支足球队参加单循环赛，每两队赛一场，每场胜方得3分，负方得0分，平局各得1分，所有比赛结束后发现，各队的总分构成公差为1的等差数列，求最后一名得分的最大值．