【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式（50题竞赛真题强化训练）原卷版

这是一份【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式（50题竞赛真题强化训练）原卷版，共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2021·全国·高三竞赛）若，则__________．
2．（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且为的两实根.则的取值范围为______.
3．（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____.
4．（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.
5．（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的三个非零实根成等比数列，则______.
6．（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_________．
7．（2019·全国·高三竞赛）已知实数、、、满足，，，.则______.
8．（2019·全国·高三竞赛）设抛物线的一条弦被直线：垂直平分.则弦的长等于_______.
9．（2019·全国·高三竞赛）对正整数k，方程的整数解组有_____个．
10．（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程的两根为、．若，则______．
11．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个．
12．（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为__________.
13．（2019·江苏·高三竞赛）若x+y－2是关于x、y的多项式的因式，则a－b的值是________ .
14．（2019·江西·高三竞赛）设x>0，且，则____________ .
15．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ .
16．（2019·山东·高三竞赛）整数n使得多项式f(x)=3x3－nx－n－2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为______ .
17．（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的两根均为整数．则实数的值为______．
18．（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程有三个正实根.则的最小值为______.
19．（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为______．
20．（2019·全国·高三竞赛）对，，定义．设是一个6次多项式且满足，．用表示______．
21．（2018·河北·高三竞赛）若实数x、y、z满足，，则_____.
22．（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式，若，，则______．
23．（2018·全国·高三竞赛）设、、.且满足方程组，则的取值范围是__________.
24．（2018·全国·高三竞赛）设实数使得关于的一元二次方程的两个根均是整数.则所有这样的是__________.
25．（2018·全国·高三竞赛）设多项式满足.则=________.
26．（2018·全国·高三竞赛）已知关于的方程（）有三个实数根．则的最大值为______．
27．（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值．
28．（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有______个不同的实数根.
29．（2019·福建·高三竞赛）已知，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为____________ .
二、解答题
30．（2021·全国·高三竞赛）设是方程的两个实根，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围.
31．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y、z满足求证：x、y、z中至少一个为2020．
32．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为整系数多项式，若，求，.
33．（2019·新疆·高三竞赛）已知x、y、z是正数且满足.则x+y+z+xy=____________ .
34．（2019·山东·高三竞赛）已知是素数，求正整数n的所有可能值
35．（2019·全国·高三竞赛）设实数a、b、c、d满足.
证明：.
36．（2019·全国·高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：
（1）可数个可数集的并为可数集；
（2）存在超越数.
37．（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数，使得是一个三元多项式．
38．（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数满足.
(1)证明：二次方程必有实根；
(2)当时,求.
39．（2019·全国·高三竞赛）设实数、、满足：存在为、、中某一个，且另两个恰为方程的两实根. 试求的最小可能值.
40．（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数满足，，，……，求代数式的值.
41．（2018·全国·高三竞赛）求出所有使均为整数的正有理数组.
42．（2018·全国·高三竞赛）已知复平面上的正边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式的个复根.求该正多边形面积的最小值.
43．（2021·浙江·高二竞赛）已知二次函数有两个不同的零点.若有四个不同的根，且，，，成等差数列，求的取值范围.
44．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.
45．（2019·江苏·高三竞赛）已知实数a、b、c均不等于0，且，求的值.
46．（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.
47．（2019·全国·高三竞赛）已知正的三个顶点在抛物线上.试求正中心的轨迹方程.
48．（2019·全国·高三竞赛）已知方程和都有实根（、、，），且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为、和，.则成立的充要条件是.
49．（2019·全国·高三竞赛）试求出所有实系数多项式，使得对满足的所有实数、、，都有.
50．（2018·全国·高三竞赛）求所有正整数对.其中,,且,使得.