湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题

这是一份湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x20,b>0)的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
4.已知向量a=(1,2)，b=(4,3)，则a在b方向上投影向量为( )
A. (45,35)B. (85,65)C. (4 55,3 55)D. (8 55,6 55)
5.若(1x x+x3)n展开式中的第2项与第3项的系数相等，则n的值为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=a⋅2n−4，则a1=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
7.已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1(t)=sint，I2(t)=sin(t+φ)，I3(t)=sin(t+2φ)，φ∈(0,π)，它们合成后的电流瞬时值的函数为I(t)=I1(t)+I2(t)+I3(t)的部分图象如图所示，则I(t)的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
8.已知点K为三棱柱ABC−A1B1C1的棱A1B1上一点，经过顶点A，C及点K的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则A1KB1K的值为( )
A. 1B. 3C. 2− 3D. 3−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数=标准差均值.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是( )(附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，P(|Z−μ|nB. mn>eC. m+n=4D. nen=e4
11.在平面直角坐标系中，已知定点F(4,0)和定直线l:x=−4，若到点F与直线l的距离之和等于10的点的轨迹记为曲线C.给出下列四个结论，其中正确是( )
A. 曲线C关于y轴对称
B. 若点M(x0,y0)在曲线C上，则2≤|MF|≤10
C. 若点M(x0,y0)在曲线C上，则|x0|≤5
D. 若点M(x0,y0)在曲线C上，则|y0|≤6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知θ是第二象限内的角，sinθ= 32，则tan(θ+π6)= ．
13.已知长方体的长、宽、高分别为a、b、3，连接其各面的中心，得到一个八面体.已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为 ．
14.在箱子里有六张印有6名同学名字(名字都不相同)的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=π3;且△PAD是边长为2的等边三角形．
(1)求证：PB⊥AD;
(2)若PB= 6，求直线BD与平面PAC所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
如图，在等边三角形△ABC中，Q为边BC上一点，BQ=2CQ，点M、N分别是边AB，AC上的动点(不包括端点)，若∠MQN=120∘，且设∠CNQ=θ．
(1)求证：不论θ为何值，QMQN=2恒成立;
(2)当△BMQ和△CNQ的面积相等时，求tanθ的值．
17.(本小题15分)
已知抛物线C:x2=4y的焦点为F.过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点.抛物线C在点B处的切线为直线m，过点A作平行于直线m的直线交抛物线C于点P.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3).
(1)求证：x1，x2，x3成等差数列;
(2)求△ABP的面积的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=a+xlnx(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线在y轴上的截距为−e，求a的值;
(2)若函数y=f(x)存在唯一极值点，求a的取值范围;
(3)若函数y=f(x)存在极大值，记作h(a)，求证：ln(h(a))+|a|0且x≠1)，
则f′(e)=−ae，所以切线方程为y=−ae(x−e)+a+e=−aex+2a+e，
所以2a+e=−e，有a=−e;
(2)f(x)存在唯一极值点等价于xlnx−x−a=0在(0,1)∪(1,+∞)上有唯一解，
记g(x)=xlnx−x−a，x∈(0,1)∪(1,+∞)，
知g′(x)=lnx，可知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因为当x→0+时，xlnx→0−(这里0+表示从0的右边逼近0，0−表示从0的左边逼近0)
所以g(x)在(0,1)上的值域为(−a−1,−a)，在(1,+∞)上的值域为(−a−1,+∞)，
所以−a≤0，即a的取值范围为：[0,+∞)．
(3)记s(x)=xlnx−x−a，
当−1