新高考数学一轮复习重难点练习15数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加）四种考法（2份，原卷版+解析版）

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考法1：分组求和法
考法2：裂项（相消）法
考法3：错位相减法
考法4：倒序相加法
二、命题规律与备考策略
数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．
三、题型方法
考法1：分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
一、解答题
1．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列满足：.
(1)设，求证数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)求数列前20项中所有奇数项的和.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）根据题意，先求出，再计算得，即可证明是等比数列，进而求得；
（2）将前20项奇数项的和利用递推式转化为关于偶数项的和，再利用将关于的计算转化为关于的计算，进而求得结果.
【详解】（1）令，得；
根据题意，得，，
所以，
所以数列是，的等比数列，故；
（2）由（2）可得，
所以数列前20项中所有奇数项的和
.
2．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题中递推公式化简得到，从而求解.
（2）由（1）中结论得，然后利用分组并项求和，从而求解.
【详解】（1）数列满足,整理得：，
所以，即
又，
故是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，，
所以
．
．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）因为，
时，,
两式相减得，
，，，，
相乘得，所以，
当时符合上式，
所以；
（2），
当为奇数时，
.
4．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系可得，所以奇数项和偶数项分别为等差数列，由通项公式求解即可；
（2）当为奇数时，奇数项有项，偶数项有，当为偶数时，奇数项和偶数项分别为项，分组求和即可.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减可得，
因为，，所以，所以，
所以，，，，是首项为1，公差为3的等差数列，
，，，，是首项为2，公差为3的等差数列，
则，，
故；
（2）当为奇数时，
，
当为偶数时，
，
综上.
5．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)当为偶数时，，当为奇数时，.
【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；
（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，
即，又因为，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
经检验，时，满足，
综上，当为偶数时，，
当为奇数时，.
6．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列，数列的前和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据等差、等比数列的通项公式建立方程组，解出两个数列的基本量，即可求解；
（2）由（1）可得，结合分组求和法计算即可求解.
【详解】（1）设数列的首项为，数列的公差为，
因为，
可得，
所以
（2）由（1）知，，
所以，
.
7．（2024上·山东济南·高三统考期末）将数列中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：



……
记表中的第一列数，，，，…构成的数列为，为数列的前n项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第k（）行所有项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由当时，，求出，再验证是否满足；
（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（）行有项，表示出，求解即可.
【详解】（1）当时，．
时，，也适合上式，
因此．
（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2，表中第k（）行有项，
（或者）
．
8．（2024上·福建泉州·高三统考期末）等差数列和等比数列中，.
(1)求的公差；
(2)记数列的前项和为，若，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意得，整理，得，
消去，得，解得或.
（2）由（1）得或.
因为，
所以，
故.
从而，
.
9．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和是，且．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列落入区间内的所有项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，求出，利用公式得到数列的递推公式，构造为等比数列，由此等比数列的通项，求数列的通项公式；
（2）由（1）数列的通项公式与，求出的个数，利用分组求和法求出项的和
【详解】（1）当时，，所以．
因为，所以，
两式相减，化简得，所以．
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，则．
（2）由题意，得，所以，所以，即．
因为落入区间内的所有项为，，，，，，，，，
所以其和
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明：，使得数列成等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到，再利用分组求和法和等比数列前n项和公式求解.
【详解】（1）若，数列成等比数列，
则存在非零实数，使得，
即，整理得①．
因为，所以②．
由①②对应项系数相等得解得
所以．
因为，所以．
所以数列的各项均不为0，所以．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，使得数列成等比数列．
（2）由（1）知，数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，即，
所以，
即，
11．（2024·云南昆明·统考一模）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算，再利用得进而证明 等比数列，可得通项公式；
（2）先求出，再利用并项求和法求的前项和.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即.
（2）由题意，，则，
记数列的前项和为，
所以.
12．（2023·云南红河·统考一模）已知等比数列的前n项和为，其中公比，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解，
（2）根据分组求和，结合等比求和公式即可求解.
【详解】（1）因为是等比数列，公比，所以，解得，
由，解得．所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
则
．
13．（2024上·广东东莞·高三统考期末）数列的前n项积为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解；
（2）由（1）可得，结合分组求和法运算求解.
【详解】（1）因为，
若，则；
若，则；
且符合，
综上所述：数列的通项公式.
（2）由（1）可知：，
可得
，
所以.
考法2：裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
一．解答题（共13小题）
1．（2023•哈尔滨一模）已知递增等差数列满足：，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）由已知可得，，然后联立求解即可；
（2）由（1）可得，然后累加求和即可．
【解答】解：（1）设递增等差数列的公差为，，
又，，，成等比数列，
则，，
联立求解可得，，
则，
即数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，
则
．
【点评】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和，属中档题．
2．（2024•开封一模）已知数列为等差数列，，且．
（1）求；
（2）记为数列的前项和，求．
【分析】（1）结合题意以及数列为等差数列，利用等差数列相关知识，建立方程组，求解出首项和公差，表示出的通项公式，再转化为即可；
（2）结合（1）问，表示出以及，利用裂项相消法即可计算．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则数列的前三项分别是，
，且，
，即，
解得，
，
即，
，．
（2）由（1）可得，，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
3．（2024•拉萨一模）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
【分析】（1）根据已知条件列出关于，的方程组并求解，结合等差数列的通项公式可得答案；
（2）利用裂项相消法可求得结果．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则
化简整理，得，
解得，
，．
（2）由（1）可得，，
则
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的通项公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
4．（2023•张家口三模）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据及不等式的性质即可证明成立．
【解答】（1）解：依题意，当时，，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
化简整理，得，
当时，也满足上式，
，．
（2）证明：由（1）可得，
，
则
，
，，
对任意恒成立．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的性质，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
5．（2023•李沧区校级一模）设等差数列的前项和为．已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，．当时，求的值．
【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，又可求得，进一步即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，所以，从而结合裂项相消求和法即可求得，最后利用，求出值即可．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
由，得，又，则，解得，
所以；
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
所以，
令，整理得，解得或（舍去）．
因此的值为10．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
6．（2023•一模拟）在正项数列中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：．
【分析】（Ⅰ）由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）先将第（Ⅰ）题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．
【解答】（Ⅰ）解：依题意，当时，由，
可得，
即，
，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，，
，，
，．
（Ⅱ）证明：由题意及（1），
可得
，
故不等式对任意恒成立．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
7．（2023•怀仁市模拟）已知等差数列的首项，记的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列公差，令，求数列的前项和．
【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式；
（2）根据题意及第（1）题的结果确定等差数列的通项公式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法推导出前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，或，
当时，，
当时，，
或，．
（2）由题意及（1），可得，，
则
，
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用裂项相消法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分类讨论，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8．（2023•唐县校级二模）设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）先设等差数列 的公差为，再根据题干已知条件及等差数列的通项公式计算出首项 的值，进一步根据等差数列的求和公式列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列 的公差为，
则，
又，
解得，
，．
（2）由（1）可得，，
则
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
9．（2023•全国模拟）已知数列前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出的值，同时得到，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可得到数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再构造数列：令，设数列的前项和为，运用错位相减法计算出数列的前项和，最后运用分组求和法，裂项相消法即可计算出数列的前项和．
【解答】解：（1）由题意，当时，，解得，
则，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
即，
当时，也满足上式，
，．
（2）由（1）知，
，
构造数列：令，则，
设数列的前项和为，
则，
，
两式相减，
可得
，
，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，构造法，错位相减法，组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10．（2023•龙华区校级模拟）已知等差数列{an}，其前n项和Sn满足Sn＝n2+m，m为常数．
（1）求m及{an}的通项公式；
（2）记数列bn＝，求{bn}前n项和的Tn．
【分析】（1）先将n＝1代入题干表达式计算出a1关于m的表达式，当n≥2时，结合公式an＝Sn﹣Sn﹣1及题干已知计算出当n≥2时an的表达式，再计算出a2，a3的值，然后根据等差中项的性质列出关于m的方程，即可计算出m的值，即可得到首项a1的值，进一步推导即可得到等差数列{an}的通项公式；
（2）先根据题干表达式及m的值计算出Sn的表达式，进一步推导出数列{bn}的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝m+1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+m﹣（n﹣1）2﹣m＝2n﹣1，
则a2＝3，a3＝5，
∵数列{an}是等差数列，
∴a1+a3＝2a2，
即m+1+5＝2×3，解得m＝0，
则a1＝1，
∵当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n﹣1，
∴an＝2n﹣1，n∈N*．
（2）由（1）可得，Sn＝n2+m＝n2+0＝n2，
则bn＝＝＝﹣，
∴Tn＝b1+b2+…+bn
＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝1﹣
＝．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差中项的性质运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
11．（2023•南关区校级模拟）已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）根据已知可得：，，可得数列的前项和，利用求和公式、裂项求和方法即可得出结论．
【解答】解：（1），，
，，
解得，．
．
（2）数列满足，
；
，
数列的前项和．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2023•惠州校级模拟）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列，为其前项和，若_____．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（Ⅰ）在选择条件①的情况下，根据题干已知条件并结合公式进行运算即可得到等差数列的通项公式；在选择条件②的情况下，由题意，设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列的通项公式；在选择条件③的情况下，由题意，设等差数列的公差为，再根据等差数列的前项和公式代入，计算出公差的值，即可计算出等差数列的通项公式；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．
【解答】（Ⅰ）解：方案一：选择条件①
由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
方案二：选择条件②
由题意，设等差数列的公差为，
则，
，
联立，
解得，
，．
方案三：选择条件③
由题意，设等差数列的公差为，
则，
解得，
，．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得
，
则
，
故不等式对任意恒成立．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13．（2023•天津三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）记为的前项和，求证：；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出的表达式，进一步计算出，的表达式，再运用作差法比较大小，即先推导出的表达式，再与0比较大小即可证得不等式成立；
（Ⅲ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，再求数列的前项和时分奇数项与偶数项分别计算，奇数项求和运用错位相减法进行求和，偶数项求和时运用裂项相消法进行求和，最后综合即可得到前项和的结果．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，
化简，得，
整理，得，
解得（舍去），或，
则，
，，
，．
（Ⅱ）证明：由（1）可知，，
则，，
，
．
（Ⅲ）解：由（1）可得，
，
，
令，
则，
，
两式相减，可得
，
，
令，
则，
，
．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，作差法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
考法3：错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；
②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；
③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．
一．解答题（共18小题）
1．（2023•水富市校级模拟）数列和满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）由，，利用等比数列通项公式即可得出．利用即可得出．
（2），利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1），，数列是等比数列，公比为2，首项为1，．
，
．
（2），
数列的前项和，
，
，
化为：．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2024•甘肃模拟）已知数列的前项和为，且，是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求，的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由，求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围．
【解答】解：（1）当时，，解得．
当时，，，两式相减得，即，
是首项、公比均为2的等比数列，故．
又，故．
（2），则①，
②，
①②得．
．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，则，
又，
当时，，当时，，
（1）（2）（3）（4），则．
实数的取值范围为．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2023•济南三模）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，
整理，得，
解得，
，．
（2）由（1）可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
，
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
4．（2023•河北模拟）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
（1）证明：，分别为等差数列，等比数列．
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）根据矩阵运算的定义得出关于和的等式，根据消元法得出和在时的通项公式，检验和是否满足时的通项公式，即可证明；
（2）写出数列的通项公式，根据等差数列和等比数列求和公式，分组求和即可．
【解答】（1）证明：，
，
消去，得，
当时，，则，
当时，由及，得，
，
，，
为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．
（2）由（1）知：，
则
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（2023•天门模拟）已知两个正项数列，满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．
【分析】（1）两个正项数列，满足，，化简可得，解得，．
（2），对分类讨论，利用的性质即可得出，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
【解答】解：（1）两个正项数列，满足，，
，
解得，．
（2），
时，；
时，，，
，
，
时，；
时，数列的前项和，
，
相减可得：，
化为．
上式对于时也成立．
．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、取整函数的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2023•福州模拟）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：（1），（4）．
（1）求，；
（2）令，求数列的前项和．
【分析】（1）根据题中所给定义求解即可；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法计算求和．
【解答】解：（1），所有不超过9，且与9互质的正整数有1，2，4，5，7，8，
故；
，所有不超过27，且与27互质的正整数有1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，17，19，20，22，23，25，26，共18个，
故；
（2）中不超过的数共有个，3的倍数有个，
所以，
，，
则，
设数列的前项和为，
则，
，
作差得：，
故数列的前项和．
【点评】本题考查数列的新定义，考查错位相减法求和，属于中档题．
7．（2023•梅河口市校级一模）已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，，且，，成等比数列，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式即等比中项的性质列出关于公差的方程，解出的值，进一步计算出首项的值，即可计算出等差数列的通项公式，然后设等比数列的公比为，再根据题干已知条件及等比数列的通项公式列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出比数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，
，，
设等比数列的公比为，
则，，，
由，可得，
整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由（1），可得，
设数列的前项和为，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
8．（2023•龙岗区校级一模）已知数列的首项，且满足．
（1）求证为等比数列并求．
（2）对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．
【分析】（1）先将题干中递推公式取倒数，两边同时减去1，进一步推导即可证得数列是以为首项，为公比的等比数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出的表达式，再运用分组求和法与等差数列的求和公式计算的表达式，然后运用错位相减法进一步计算出的结果，进一步根据不等式的运算即可分析计算得到的值．
【解答】（1）证明：依题意，由，
可得，
两边同时减去1，
可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，．
（2）解：由（1）可得，，
则
，
设，
则，
两式相减，
可得
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，错位相减法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
9．（2023•潍坊模拟）已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【分析】（1）先根据题意计算出的值，当时，由，可得，即可发现数列是以3为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，再结合公式即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，可知当时，，
当时，由，
可得，
数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
，．
（2）由（1）可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，等差数列的判别，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10．（2023•齐齐哈尔二模）已知数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由，时，，相减可得，利用，可得；时，，解得．
（2），利用错位相减法可得数列的前项和，假设存在正整数，使得成立，结合数列的单调性即可得出结论．
【解答】解：（1），
时，，
相减可得，
，
，
时，，解得，对于上式也成立，
．
（2），
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为：，
假设存在正整数，使得成立，
则，
时不成立，化为，
由数列单调递增，数列单调递减，
时，不成立；
时，左边；右边，
因此不可能成立．
综上不存在正整数，使得成立．
【点评】本题考查了数列递推关系、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2023•如皋市模拟）已知为数列的前项和，，且是公差为1的等差数列．正项等比数列满足，．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）由，且是公差为1的等差数列，可得，，时，，设正项等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式及，，可得，即可得出，．
（2），利用错位相减法即可得出数列的前项和．
【解答】解：（1），且是公差为1的等差数列，
，，
时，，
时对于上式成立，
．
设正项等比数列的公比为，
，，
，，
解得．
，．
（2）由（1）可得．
数列的前项和，
，
相减可得，
化为．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2023•河北区一模）设等比数列的前项和为，，若，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，其中表示不超过的最大整数，求数列的前10项的和；
（Ⅲ）设，，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由，，可得，，，，进而得出数列的前10项的和．
（Ⅲ），，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，，，成等差数列，
，
，
，
．
（Ⅱ），，
，，，，，
数列的前10项的和为．
（Ⅲ），，
数列的前项和，
，
相减可得，
化为：．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法、分类讨论方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（2023•杭州一模）已知数列的前项和为，且．
（1）求及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，当时，，解得，
当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
，．
（2）由（1）可得，，，
在 与 之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
，
，
，
，
两式相减，
可得
，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的判定，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
14．（2023•淄博模拟）已知数列中，，．
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）先根据题干递推公式进行转化，两边同时乘以，可得，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，即可判断数列是否为等差数列；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）依题意，由两边同时乘以，
可得，
即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，
则，
故，
，
两式相减，
可得
，
．
【点评】本题主要考查等差数列的判定，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15．（2023•重庆模拟）已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前项和为，且，，成等比数列．
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：．
【分析】（1）先设等比数列的公比为，再根据等比数列的通项公式以及等差中项的性质列出关于公比的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式，然后设等差数列的公差为，再根据等差数列求和公式以及等比中项的性质列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和的表达式，最后根据不等式的运算即可证明结论成立．
【解答】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，
则 ， ， ，
，，成等差数列，
，
即 ，
化简整理，得 ，
解得，
，．
设等差数列的公差为，
则，，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）证明：由（1），可得，
则，
，
两式相减，
可得
，
，
故不等式对任意恒成立．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16．（2023•古冶区校级一模）已知正项等差数列的前项和为，且，．
（1）求；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）设正项等差数列的公差为，由，可得，解得．可得，根据，利用裂项求和方法可得，利用求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：，可得，利用错位相减法即可得出结论．
【解答】解：（1）设正项等差数列的公差为，，
，解得．
，
，
，
，
化为，
，
，，
解得，
．
（2）由（1）可得：．
，
数列的前项和，
，
，
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（2023•迎泽区校级一模）数列满足，，．
（Ⅰ）求证：是等比数列；
（Ⅱ）若，的前项和为，求满足的最大整数．
【分析】（Ⅰ）先根据题干递推公式可得，两边同时加1可得，两边同时取以2为底的对数，可得，进一步推导即可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列，计算出数列的通项公式，再根据指数和对数的运算关系推导出，，即可证得数列是等比数列；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法、错位相减法、等比数列的求和公式计算出前项和的表达式，然后代入不等式，化简整理可得，构造数列：令，然后运用作差法分析出数列的单调性，根据单调性进一步判别出满足的最大整数．
【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由，
可得，
两边同时加1，可得，
两边同时取以2为底的对数，
可得，
，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
，
，
，，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，，
则
，
令，
则，
两式相减，
可得
，
，
，
，，
整理，得，
构造数列：令，
则，
，
数列是单调递增数列，
又当时，，
当时，，
满足的最大整数为98．
【点评】本题主要考查数列求递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，指数与对数的运算，分组求和法、错位相减法、等比数列求和公式的运用，构造法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题．
18．（2023•水富市校级模拟）在下表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于，每列上的数从上到下都成等差数列，正数表示位于第行第列的数，其中．
（1）求的值；
（2）求的计算公式；
（3）设数列满足，的前项和为，试比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）设第4列的公差为，可求出及，从而可求．
（2）求出后可得．
（3）利用错位相减法可求，利用和的单调性可判断它们的大小．
【解答】解：（1）设第4列的公差为，则，
，
，
即，又为正数，
．
（2）在第四列中，由等差数列通项公式得：，
在第行中，由等比数列通项公式得：．
（3）由（2）得，即
故，
，
相减可得，
化为，
，数列为减数列．
，为增数列，
，，
，，，，
当时，当时．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、转化方法、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
考法4：倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
一、解答题
1．（2022·全国·高三专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当时，，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
3．（2023上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，是所有n位二进制数构成的集合，对于表示和对应位置上数字不同的位置个数.例如当时，，当时，.
(1)若，求所有满足，且的的个数；
(2)若，对于集合中所有，求的和；
(3)当时，对于集合中所有和，求的和.
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）结合“二进制”以及的定义，利用组合数求得正确答案；
（2）由（1）列出对应的的个数，利用倒序相加及组合数性质求解；
（3）先求得的和S的表达式，然后利用倒序相加法求得的和；
【详解】（1）∵，∴为5位数且与有2项不同，
又∵首项为1，故与在后四项中有两项不同，得个数为.
（2）∵，
当时，的个数为；
当时，的个数为；
……
当时，的个数为；
设的和为S，则，
倒序相加得，
即，∴的和为.
（3）先固定，下面对的情况分类讨论得：
当时，的个数为；
当时，的个数为，
当时，的个数为，
……
当时，的个数为，
设的和为T，则，
倒序相加得，
倒序相加得，
即，
∴当固定时，对所有的和为.
又∵所有的共有个，
∴对集合中所有和的和为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明图象关于点对称，转化为证明关系式；
（2）由第（1）问结论，利用倒序相加法求和.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为，
所以（倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，求．
【答案】
【分析】首末对应项和相等，符合倒序相加求和的条件，使用倒序相加求和．
【详解】因为，
所以，
两式相加得，
因为，所以．
6．（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）记为数列的前项和，已知：，（）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求和：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据，利用等差数列定义即可得证，并结合与的关系式，求出.
（2）利用前项和的倒序相加法，结合组合的性质即可求出结果.
【详解】（1）由，
有，又，故，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
故，两式相减得，
即，所以，
因此的通项公式为．
（2）设，
则由（1）知，
又，
两式相加得：
，
因为，，
，
所以.
7．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【详解】（1）当时，；
当时，①，
②，
①－②得：，
∴，当时，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
8．（2022上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，，满足，证明即可；
（2）根据（1）中的性质即可求出.
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中且，
则有，
因此函数图像关于点对称 ；
（2）由（1）知当时，，
①，
②，
①+②得，即.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且．
(1)求的值及的值；
(2)已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值；
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据点在直线上，设，利用，可得，分类讨论：①，；②时，，利用函数解析式，可求的值；
（2）由（1）知，当时，，，代入，1，2，，，利用倒序相加法可得，从而可得数列的通项与前项和，利用化简即可求得结论.
【详解】（1）根据点在直线上，设，则，，
，．
①当时，，；
②当时，，
；
综合①②得，．
（2）由（1）知，当时，．
，，
时，①
②
①②得，，则．
又时，满足上式，．
，．
，，
，
，，
，为正整数，，
当时，，，．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用倒序相加法求出，再利用等比数列的求和公式得到，再代入化简，最后结合指数函数的值域即可求出的值.
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设.
(1)求的值；
(2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点.
(3)若，且，求证：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据不等式的解集可知与是方程的两根，利用韦达定理可构造方程求得的值；
（2）对求导后，将问题转化为研究的根的分布；分别在和的情况下，得到，求得方程的根之后，根据根所处的范围可得到单调性，由此可得极值点，并得到满足题意的的范围；
（3）利用二项式定理展开所证不等式左侧，整理得到，采用倒序相加法，结合基本不等式可求得，由此可整理得到结论.
【详解】（1）由得：，
即，
的解集为，
与是方程的两根，，解得：.
（2）由（1）得：，
，
则定义域为，，
方程的判别式；
①当时，，方程的解为：，，
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有极小值点，此时；
②当时，由得：或；
，的对称轴为；
（i）若，则，，
则当时，，在上单调递增，没有极值点；
（ii）若，则，且，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
有极小值点，极大值点；
综上所述：当，时，有极小值点；当，时，有极小值点，极大值点.
（3），，
；
令，则，
（当且仅当时等号成立），
，即.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值点、利用二项式定理证明不等式等知识；本题证明不等式的关键是能够采用倒序相加法，化简所证式子，结合基本不等式和二项式系数和的运算性质证得不等关系.
12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，是否存在等差数列，使得对一切自然数恒成立？
【答案】存在
【分析】令应用倒序相加及组合数、等差数列性质得，结合已知即可判断存在性.
【详解】由，
当，则，
当，则，
当，则，
，
若存在等差数列,则该数列必为，
下证，
令，且，倒序相加，得，
而，所以，则，
所以，
所以，存在等差数列，使得对一切自然数恒成立．