新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题05 与几何意义有关的函数问题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc144417287" 题型1类比斜率 PAGEREF _Tc144417287 \h 1
\l "_Tc144417288" 题型2类比两点间距离 PAGEREF _Tc144417288 \h 5
\l "_Tc144417289" 题型3类比点到直线距离 PAGEREF _Tc144417289 \h 11
\l "_Tc144417290" 题型4类比直线与曲线的位置关系 PAGEREF _Tc144417290 \h 15
\l "_Tc144417291" 题型5类比和差距离问题 PAGEREF _Tc144417291 \h 18
\l "_Tc144417292" 题型6绝对值中的距离问题 PAGEREF _Tc144417292 \h 19
\l "_Tc144417293" 题型7两曲线间点的距离 PAGEREF _Tc144417293 \h 20
题型1类比斜率
【例题1】（2020秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考阶段练习）已知是定义在R上的增函数，函数的图象关于点对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数是递增函数，且的图象关于点对称，可得函数是奇函数，
再结合可得，进而利用数形结合求出结果．
【详解】是定义在R上的增函数，且函数的图象关于点对称，
所以函数是奇函数；
又，
所以，且；
即，
画出不等式组表示的图形，如图所示，
所以表示圆弧上的点与点连线的斜率，
所以结合图象可得：的最大值是直线的斜率，为，
最小值是直线的斜率，不妨设为k，
则，
消去n，得，
整理得，
令，
化简得，
解得，
应取为最小值；
所以的取值范围是：．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，函数与方程的综合运用，考查数形结合思想．解题分两部分，一部分是由函数单调性与奇偶性化为，第二部分收构成点，用几何意义来解释此条件，用几何意义来理解．从而达到求解的目的．
【变式1-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，
综合得，，
故最小值为：.
故选：B.
【变式1-1】2. （2022秋•上城区校级期中）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】令，根据同角三角函数基本关系可将函数解析式化为，再分析其几何意义，利用直线的斜率公式和数形结合思想进行求解.
【详解】令，
则，
它表示半圆上的与连线的斜率（如图所示），
由图象得当与半圆相切时，函数取最小值，
此时,,，
，
即的最小值为.
故答案为：.
【变式1-1】3. （2020•泰州一模）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccsx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.
题型2类比两点间距离
【例题2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值.
【详解】函数的零点为，
则，且，即，
所以点在直线上，
又表示点到原点的距离的平方，
故，
所以，
设，
则，
故，
设，
则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
故当时，，函数在上单调递增，
所以.
所以当，时，取最小值，最小值为.
所以当时，的最小值为.
故选：B.
【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.
【变式2-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为 .
【答案】8
【分析】求出圆心到曲线上的点的距离最值后可求的最小值.
【详解】因为实数满足，故在圆：上.
而，设，
则表示到曲线上的点的距离的平方.
又，
因为在为增函数，且，
故当时，即；当时，即；
故在上为减函数，在为增函数，故的最小值为.
故到曲线上的点的距离最小值为，
而圆的半径为，故圆上的点到曲线上的点的距离最小值为，
故的最小值 为.
故答案为：.

【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代数式对应的几何意义.
【变式2-1】2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.
【详解】由题意设，则，所以，
因为分别在曲线和直线上，
所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，
设切线为，切点为，则，得，
所以，得，则，
所以的最小值为点到直线的距离，，
即的最小值为，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.
【变式2-1】3. （2021•南京一模）若实数、满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，此时，，
且题设等式化为.
于是，满足方程.
如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集.
故.
从而，.
【变式2-1】4.记，，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意，可知表示点，两点之间距离的平方，得出点的轨迹方程是，点的轨迹方程是，设平行于且与相切的直线方程为，联立方程组并结合求出的值，得出切线方程为或，从而可知，两点之间距离的最小值即为两平行直线与间的距离，最后利用两平行线间的距离即可得出结果.
【详解】解：表示点，两点之间距离的平方，
点的轨迹方程是，点的轨迹方程是，
设平行于且与相切的直线方程为，
联立，得，
由，解得：，
所以与相切的直线方程为或，
，两点之间距离的最小值，
即为两平行直线与间的距离，为，
的最小值是.
故答案为：.
【变式2-1】5.（2020·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的图像关于点对称，得到，从而将转化为，利用函数的单调性得到，再利用圆的性质即可得到的取值范围.
【详解】因为函数的图像关于点对称，
所以.
因为，
所以.
.
所以.
又因为函数是定义在上的增函数，
所以.
整理得：.
因为表示以为圆心，的圆上或圆内的点到距离的平方.
所以，
.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用的几何意义为解题的关键，属于难题.
题型3类比点到直线距离
【例题3】（2021秋•西湖区校级期末）函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知函数的几何意义为点到直线的距离，求出直线所过定点的坐标，可得出所求函数的最大值为，即可得解.
【详解】解：函数
的几何意义为点到直线的距离，
由直线，
即为，
由，可得，
则直线恒过定点，
由题意可得原点到定点的距离即为所求最大值，
可得，
故选：B.
【变式3-1】1. （2022•新疆模拟）若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】问题转化为曲线上的点到的距离平方的最小值，需满足函数在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义可求得点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】解：由已知可得，，
则的最小值即为曲线的点到直线的距离最小值的平方，
设，则，令，解得，
，
曲线与平行的切线相切于，
则所求距离的最小值为点到直线的距离的平方，即.
故选：D.
【变式3-1】2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据互为反函数的对称性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求最小值即可.
【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．16
【答案】B
【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，进而再转化为求曲线上的点到直线上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可.
【变式3-1】4. （2021春•北海期末）实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知,进而将问题转化为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，故只需求解上与直线平行的切线的切点，进而得答案.
【详解】由，可得，
故几何意义为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方.
对于函数，令，解得，
所以函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故选:D
【变式3-1】5.（2021•山东模拟）若，，，求的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的几何意义构造函数，再转化为点到直线的距离问题即可.
【详解】问题可以转化为：是函数图象上的点，
是函数上的点，.
当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.
，舍去负值，
又，所以到直线的距离即为的最小值.
，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解的几何意义.
题型4类比直线与曲线的位置关系
【例题4】（2021秋•运城期中）直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是
【答案】
【详解】作直线与曲线的图象如下,
，
直线m的斜率,直线n的斜率k=0,
结合图象可以知道,k的取值范围是.故答案是:.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式4-1】1.若关于的方程有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将方程变形，可得，等价于与的图象有公共点，转化为半圆与直线的交点问题，画出图形，数形结合求出的范围.
【详解】解：关于的方程有解等价于有解，
等价于与的图象有公共点，
等价于，等价于，
其图象为为圆心2为半径的圆的上半部分，
作图可得当平行直线介于两直线之间时满足题意，
易得直线的截距为0，设直线的截距为，
由直线与圆相切可得直线到点的距离为2，
可得，解得，或（舍去），
，解得，
故答案为：.
【变式4-1】2. （2022秋•吉州区校级期中）若方程仅有一解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：即，所以，方程仅有一解，即，半圆只有一个交点，如图所示，可知实数的取值范围是．
考点：本题主要考查方程解的概念，直线与圆的位置关系．
点评：典型题，利用转化与化归思想，将方程解的问题，转化成直线与圆的位置关系问题，应用数形结合思想，使问题得解．难度不大，贵在转化．
题型5类比和差距离问题
【例题5】（2021•安徽开学）求函数的最小值为 .
【答案】5
【分析】将函数式表示为点点距的形式，可转化为求距离之和的最小值，从而求出答案.
【详解】解：函数
表示轴上动点到和的距离和，当
为与轴的交点时，函数取最小值，
故答案为：5
题型6绝对值中的距离问题
【例题6】（2021•杭州模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为 ，当取到最小值时， .
【答案】 2
【解析】，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出图象，由图象观察即可得出答案.
【详解】解：，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，
则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，
故.
故答案为：2，.
【点睛】本题考查绝对值函数中的最值问题，考查“平口单峰”函数的构造，考查数形结合思想，属于中档题.
题型7两曲线间点的距离
【例题7】（2023·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
【答案】C
【分析】由题可知，问题可转化为圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的最小值，即求函数y＝lnx上动点到圆心距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx在处的切线与和连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案．
【详解】由可得在以为圆心，1为半径的圆上，
表示点与点的距离的平方，
即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得，
即有，
由在时递增，且，可得m＝1，即切点为，
圆心与切点的距离为，
由此可得的最小值为．
故选：C．

【变式7-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.
【详解】 ，
令 ，则，
其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，
设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图，
显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，
则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，
不妨设 ，则 ，
，设 ， ，
当 ， ，在x=1处取得最小值 ，
即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值，
的最小值为 ；
故选：D.
【变式7-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于为函数图象上任意一点，关于直线的对称点为在的图象上，所以函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，然后利用导求出与直线平行，且与曲线相切的直线，从而可求得答案
【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
设，，则，，所以，
所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.
函数在点处的切线斜率为，令得,，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，属于较难题
1.（2022•浙江模拟）已知，，，则的最小值为 .
【答案】##
【分析】分别作，的图象，取点，，则原式可看为两图象上各取一点的距离的平方，可转化为图象上点到圆心的距离减半径的平方.计算结果即可.
【详解】解：分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，
，即.
当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.

2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知两曲线与，则下列结论正确的是（ ）
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若，则两曲线只有一条公切线
C．若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若分别是两曲线上的点，则两点距离的最小值为1
【答案】C
【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系，借助导数求出范围；
对于选项B，由有两个零点可判断为错误；
对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；
对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.
【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为，则，
且在此处的切线为公切线，所以，即满足.
设，则时单调递增，，所以错误.

如上图，时，设，
则，由于，，
所以存在，使得，
那么当时，，为单调递减函数，
当时，，为单调递增函数，
且，所以有两个零点，
则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以错误.
时，设是曲线上的一点，，
所以在点处的曲线切线方程为，即①，
设是曲线上的一点，，
所以在点处的切线方程为，即
所以，解得或
所以所以两斜率分别是1和，所以正确.

时，曲线的一条切线为，的一条切线,
两切线间的距离为最小值，所以错误.
故选：C
3. （2022•成都模拟）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】的最小值可转化为函数图像上的点与直线上的点的距离的最小值.
【详解】设,,
点在函数上，点在函数上，
表示曲线上点到直线的点距离.
由，可得，与直线平行的直线的斜率为，
令，得，所以切点的坐标为，
切点到直线的距离.
的最小值为.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求P点到圆心的最小距离PM，令，利用导数求最小值，线段的长度的最小值为PM的最小值减去圆的半径.
【详解】解：设，又圆的圆心为，
令，
，．
令，
，
令，
，时，，
在上单调递增，，即
所以在上单调递增，即在上单调递增，而．
，解得；，解得，
在递减，在递增，
，
，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设直线l为.取圆O的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值.过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值．
【详解】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，
设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的轨迹方程为，
即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线l为，
则E到l的最小距离为．
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，
∴，
即，
即 ．
故选：C．
【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.
6.（2022秋•福建月考）在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.
【详解】由，则，又，
的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：.
故选：B.
形如的形式，用几何意义来理解，可以类比斜率。
形如的形式，用几何意义来理解，可以类比两点间距离问题。
由两点间距离公式，可以考虑转化成点到直线的距离公式。
利用转化与化归思想，可以将方程解的问题，转化成直线与曲线的位置关系问题，应用数形结合思想，进行求解．
双根号问题，可以通过配方，转化成距离之和问题。