新高考数学一轮复习基础+提升训练专题4.3 解三角形（2份，原卷版+解析版）

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知识点二 正弦定理
知识点三 正弦定理的变形
R为△ABC外接圆的半径
1．sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
2.eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R.
3．a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
4．sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
知识点五：三角形面积公式：S△ABC＝eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(1,2)acsin B
【696】．（2021·全国·高考真题·★★）
在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
【697】．（2020·山东·高考真题·★★）
在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】
，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
【698】．（2014·江西·高考真题·★★★）
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理边化角求解即可.
【详解】
由正弦定理有.又,
故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.
【699】．（2019·全国·高考真题·★★★）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，csA=－，则=
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
【700】．（2014·四川·高考真题·★★★）
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
，，，
所以
.
故选C.
【701】．（2014·全国·高考真题·★★）
钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
A．5B．C．2D．1
【答案】B
【解析】
【详解】
由面积公式得：，解得，所以或，当时，
由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.
【702】．（2017·山东·高考真题·★★★）
在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【详解】

所以，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
【703】．（2016·天津·高考真题·★★）
在中，若 ，则=
A．1B．2 C．3D．4
【答案】A
【解析】
【详解】
余弦定理将各值代入
得
解得或(舍去)选A.
【704】．（2022·浙江·高考真题·★★★★）
我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为，所以．
故答案为：.
【705】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
【706】．（2022·上海·高考真题·★★）
在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
【答案】##
【解析】
【分析】
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
【707】．（2021·浙江·高考真题·★★★★）
我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
【答案】25
【解析】
【分析】
分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.
【详解】
由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
【708】．（2021·全国·高考真题·★★★）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
【709】．（2019·全国·高考真题·★★★）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acsB=0，则B=___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.
【详解】
由正弦定理，得．，得，即，故选D．
【点睛】
本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
【710】．（2019·全国·高考真题·★★★）
的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】
由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
【点睛】
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
【711】．（2022·全国·高考真题·★★★）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
(1)
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【712】．（2022·全国·高考真题·★★★）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为，即，
而，所以；
(2)
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【713】．（2022·浙江·高考真题·★★★★）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
(1)
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
(2)
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【714】．（2022·北京·高考真题·★★★）
在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
(1)
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
(2)
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
【715】．（2010·辽宁·高考真题·★★★）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得的最大值.
【详解】
(Ⅰ)，
,即.
，.
(Ⅱ)，
，∴当即时，取得最大值1.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
【716】．（2020·天津·高考真题·★★★）
在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】
（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
【点晴】
本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
【717】．（2022·河北·沧县中学模拟预测·★★★★）（多选题）
在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意得，结合边的关系即可判断A；根据边的关系及基本不等式即可判断BC；用边长为的三角形的周长判断D
【详解】
对于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，则成立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误．
故选：ABC．
【718】．（2022·河北·石家庄二中模拟预测·★★★★）(多选题)
已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ）
A．外接圆半径为B．内切圆半径为
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；对B，利用三角形面积关系可求出；对C，由可求出；对D，由可求出.
【详解】
在中，，所以，
设外接圆半径为，则，则，故A错误；
设内切圆半径为，则，解得，故B正确；
因为，，
所以
，故C正确；
设内切圆与三角形分别切于，则设，
，解得，所以，
则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【719】．（2022·河北·石家庄二中模拟预测·★★★）（多选题）
三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据余弦定理、正弦定理，结合平面向量数量积的定义逐一判断即可.
【详解】
A：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由，
所以是钝角三角形，因此本选项正确；
B：由，不能判断是钝角三角形，所以本选项不正确；
C：根据正弦定理，由，
由余弦定理可知：，所以是钝角三角形，因此本选项正确；
D：根据正弦定理，由
，
所以是直角三角形，不符合题意，
故选：AC
【720】．（2022·湖南衡阳·二模·★★★）（多选题）
下列结论中正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，则是等腰三角形
C．两个向量共线的充要条件是存在实数，使
D．对于非零向量，“”是“”的充分不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案.
【详解】
对于A：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；
对于B：若，则或，即或
即是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；
对于C：若，满足向量共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；
对于D：若“”，则“”；若“”，则“”不一定成立.所以该命题正确；
故选：AD
【721】．（2020·海南·高考真题·★★★★）（多选题）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】
［方法一］【最优解】：余弦定理
由可得：，不妨设，
则：，即.
若选择条件①：
据此可得：，，此时.
若选择条件②：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
若选择条件③：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得．由于，得．所以．
若选择条件①：
由，得，得．
解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件②：
由，得，解得，则．
由，得，得．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件③：
由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】
方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．
【722】．（2020·江苏·高考真题·★★★）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】
（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
【723】．（2022·上海奉贤·二模·★★）
在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用定义法直接判断.
【详解】
充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；
必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.
故是的充要条件.
故选：C
【724】．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测·★★）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
【725】．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模·★★★）
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若a，b，c成等比数列，且，则A的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比中项得，结合题设得，结合余弦定理即可求解.
【详解】
由已知得，由，得，所以，得，
由余弦定理得，又，所以．
故选：B．
【726】．（2022·吉林·三模·★★★）
在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状
【详解】
由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
【727】．（2021·全国·模拟预测·★★）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断△ABC的形状是等边三角形
【详解】
△ABC中，，则
又，则
由，可得，代入
则有，则，则
又，则△ABC的形状是等边三角形
故选：C
【728】．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测·★★★）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得，由余弦定理可得，两式结合可得，根据三角函数的性质即可求得答案。
【详解】
由，可得，
由余弦定理得： ，
两式结合得：，
即，
即，
则当时，，则，
故由 可得其最小值为 ，
故选：C
【729】．（2022·浙江省江山中学模拟预测·★★★）
非直角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
分析由“”能否推出“”，再分析由“”能否推出“”，根据充分条件与必要条件的定义判断.
【详解】
若满足，，
由余弦定理可得，
此时，，又，
所以“”不能推出“”，
所以“”不是“”的充分条件，
若满足，，
则，所以，
又，所以，
所以“”不能推出“”，
所以“”不是“”的必要条件，
故选：D.
【730】．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测·★★★）
已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．2D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意化简得，再由的面积为得，再由关于角的余弦定理加基本不等式即可求出答案.
【详解】




（当且仅当时取等号），
∴
故选：A.
【731】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★★）
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【详解】
连接FD，并延长交AB于M点，如图，
因为在中，
所以；又因为在中，
所以，所以，
所以，即，
故选：A．
【732】．（2022·浙江湖州·模拟预测·★★★★）
在中，，D是线段上一点，且，则_____________，的长为_____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
在中利用正弦定理，结合已知及二倍角的正弦计算得解；利用和角的正切公式求出，再利用直角三角形边角关系计算作答.
【详解】
在中，，由正弦定理得：
，而，
所以；
，，，
于是得，
在中，点D在线段上，，所以.
故答案为：；
【733】．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测·★★★）
如图，在中，是边上一点，为钝角，.若，则__________；若，则的面积等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】
第一空，利用诱导公式结合题意即可求得答案；第二空，利用余弦定理求得，继而求得AD,BD的长，利用三角形面积公式求得答案.
【详解】
第一空：由题意可知， ；
第二空：在中， ,
即 ,解得 ,（负值舍去），
由得 ,
故 ,
故的面积为 ,
故答案为：
【734】．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测·★★★）
如图，在中，，，，，则_________，_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用三角公式求出；利用正弦定理直接求出BD.
【详解】
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，
又为锐角，所以.
在中，，，，由正弦定理得：，即,解得：.
故答案为：；
【735】．（2022·浙江·模拟预测·★★★）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M是边BC中点.若，，则_______，的面积是_______.
【答案】 16 ##1.5
【解析】
【分析】
由，两边同时平方得：，由余弦定理可得：，两式联立可得：，即可求出的面积.
【详解】
如图，，，所以，
，则，
又因为，所以——①.
由余弦定理得：，——②，
所以由①②得：，所以的面积是：
故答案为：16；.
【736】．（2022·浙江绍兴·模拟预测·★★★）
在中，的面积为，则__________，__________．
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据的面积为，由三角形面积公式求得1，再利用
余弦定理求得，再利用正弦定理求解.
【详解】
解：在中，的面积为，
所以，
所以1；
由余弦定理得：，
，
所以，
由正弦定理得，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：1，
【737】．（2022·北京昌平·二模·★★★★）
刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到等边三角形边长成等比数列，即可得的长度，再根据三角形的面积公式，求得各个阴影三角形面积成等比数列，即可求解.
【详解】
解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为
由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，
故答案为：；.
【738】．（2017·上海·高考真题·★★★）
已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
【739】．（2022·上海金山·二模·★★★）
在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，证明：是直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角可解得，再由为锐角即可求解（2）利用正弦定理边化角之后再消元，可得，再结合的范围即可得证
(1)
由正弦定理可知，，
又在中，，即，
为锐角，.
(2)
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，
即
为直角三角形.
【740】．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测·★★★）
在中，角A，B，C的对边分别为，且
(1)当，求的值
(2)求的最大值.
【答案】(1)sinC+sinA=1
(2)
【解析】
【分析】
（1）代入，解得，对变形得到，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以，变形得到，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值.
(1)
由题意得：，
即，
则
(2)
，两边同乘以得：
，即，整理得：，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
因为，当且仅当时等号成立，
此时，由于，而在上单调递减，
故的最大值为
【741】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求，的值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;
（2）由余弦定理计算即可.
(1)
由，又，
由，则.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以.
(2)
因为，，，
所以，
解得，所以，.
所以，
.
【742】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）
在中，角的对边长分别为，的面积为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，点在边上，______，求的长．
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）根据面积公式可得，利用正弦定理以及和角关系可得，进而可求.（2）根据余弦定理可求出，然后在和在中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.
(1)
因为，所以，
所以，即．
由正弦定理，得，
所以．
因为，所以，所以．
又，所以．
(2)
若选①．
法一：在中，由余弦定理，得
，
所以，所以．
在中，由余弦定理，得，
即．
在中，由余弦定理，得，
即．
又，所以．
所以，
所以．
法二：因为，所以为的中点，
所以，
所以
．
所以，即．
若选②．
在中，，
即，
即，
解得．
若选③．
在中，由余弦定理，得
，所以．
因为，又，
所以，解得．
【743】．（2022·北京市第十二中学三模·★★★★）
的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.
【答案】(1)
(2)答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）选①②，利用余弦定理可判断不唯一；
选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断的面积；
选①④，直接判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积；
选②④，利用余弦定理可判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
(1)
解：由及正弦定理可得，
、，则，，，故.
(2)
解：若选①②，由余弦定理可得，即，
解得，此时，不唯一；
若选①③，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，
所以，；
若选①④，已知，，，此时唯一，；
若选②③，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，
所以，；
若选②④，已知，，，
由余弦定理可得，可得，
，解得，此时，唯一，；
若选③④，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，.
【744】．（2022·辽宁实验中学模拟预测·★★★★）
在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求B
(2)若，的平分线交AC于点D，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可；
（2）利用角平分线的性质得到，结合余弦定理和三角形的面积公式即可
(1)
选择条件①：
根据正弦定理，可得：
可得：
根据余弦定理，可得：
选择条件②：
根据余弦定理，可得：
根据正弦定理，可得：
整理可得：
可得：
选择条件③：
易知：
可得：
根据正弦定理，可得：
可得：
整理可得：
(2)
根据题意，可得：
可得：
整理可得：
根据余弦定理，可得：
可得：，即
可得：
解得：或（舍）
故余弦定理
语言叙述
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs B，c2＝a2＋b2－2abcs C
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)
文字叙述
三角形的各边与它所对角的正弦的比相等