2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区高一上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区高一上册第一次月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 若，则的值为， 已知，，，则的最小值为， 下列命题正确的是， 已知全集，集合，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A. 数轴上离原点距离很近的所有点；
B. 太阳系内的所有行星
C. 某高一年级全体视力差的学生；
D. 与大小相仿的所有三角形
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，为实数，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
5. 集合，则A的非空真子集的个数是（ ）
A. 30B. 62C. 126D. 254
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A B. 或
C 或D.
8. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上
9. 下列命题正确的是（ ）
A. ““是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件
10. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 真子集个数是7
11. 设，a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. “a＞1”是“”的充分不必要条件
C. “P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D. a∈（3，＋∞），使得P＜3
三、填空题.本题共3小题，每小题5分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12. 已知，，且，记，，，则、、大小关系为__．（用“”连接）
13. 已知不等式的解集为，则___，________．
14. 已知正数x，y满足，则的最大值为____________．
四、解答题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）分别求
（2）已知，若，求实数a的取值范围
16. 解不等式：
（1）
（2）．
17. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
18. 已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”充分条件，求实数a的取值范围.
19. 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合.
（1）判断集合是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R.
2024-2025学年河北省秦皇岛市海港区高一上学期第一次月考数学
检测试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A. 数轴上离原点距离很近的所有点；
B. 太阳系内的所有行星
C. 某高一年级全体视力差的学生；
D. 与大小相仿的所有三角形
【正确答案】B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可
【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；
对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误
故选：B
本题主要考查了集合的确定性，属于基础题
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【详解】命题“，”的否定是：，．
故选：B．
3. 已知，为实数，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】分析命题“若，，则”与“若，则，”的真假即可得解.
【详解】因，为实数，且，，则由不等式性质知，命题“若，，则”是真命题，
当成立时，“，”不一定成立，比如，，满“”，而不满足“，”，
即命题“若，则，”是假命题，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
【正确答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合元素互异性得到答案,
【详解】，若，此时，不满足集合中元素互异性，舍去，
若，解得或，显然舍去，
当时，满足集合中元素互异性，故.
故选：A
5. 集合，则A的非空真子集的个数是（ ）
A. 30B. 62C. 126D. 254
【正确答案】B
【分析】或2或4，解方程，得到，利用集合中元素个数与集合的非空真子集个数的关系式得到答案.
【详解】由题意得或2或4，
若，此时或1，
若，此时或，
若，此时或，
故，共6个元素，
则A的非空真子集的个数为.
故选：B
6. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】C
【分析】变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为，，，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
7. 在关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【正确答案】C
【分析】分，和三种情况解不等式，结合解集中恰有两个整数，得到不等式，解不等式可得结论.
【详解】，
若，即时，解集为，
要想解集中恰有两个整数，则，解得，
与取交集后得，
若，即时，解集为，此时不满足要求，舍去；
若，即时，解集，
要想解集中恰有两个整数，则，解得，
与取交集后得.
综上，实数a取值范围为或.
故选：C.
8. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先求得，再根据题中条件即可求得范围.
【详解】设
，
则，
所以，
又，，
则，
所以，
故选：
二、多选题：本题共3小题，每题6分，每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上
9. 下列命题正确的是（ ）
A. ““是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件
【正确答案】ABD
【分析】对于A ，C ，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确.
【详解】对于A，当时，，充分性成立；当时，有或，必要性不成立，
所以““是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“”的否定是“”，故B正确；
对于C，，则“且时，，充分性成立；时，不能得出且，必要性不成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设，时，不能得出，充分性不成立；“”时，得出，必要性成立，
所以“”是“”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
10. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 的真子集个数是7
【正确答案】ACD
【分析】求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
11. 设，a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A
B. “a＞1”是“”的充分不必要条件
C. “P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D. a∈（3，＋∞），使得P＜3
【正确答案】BC
【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解.
【详解】解：A错误，当时，显然有P小于0
B正确，时，，故充分性成立，而只需即可；
C正确，可得或，当时成立，故C正确；
D错误，因为有，故D错误；
故选：BC.
三、填空题.本题共3小题，每小题5分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12. 已知，，且，记，，，则、、的大小关系为__．（用“”连接）
【正确答案】
【分析】利用作差比较法，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】因为，，且，
可得，所以，
又由，所以．
综上可得：．
故．
13. 已知不等式的解集为，则___，________．
【正确答案】 ①. 1 ②. 2
【分析】依题意可得，所以为的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
【详解】解：所解不等式即，即，观察可得只要让第二个不等式成立，则第一个一定成立，所以只需解，由已知可得此不等式的解集为，则为的两根，
所以，解得，
故；；
14. 已知正数x，y满足，则的最大值为____________．
【正确答案】2
【分析】将变形为即，然后利用不等式即可求得答案.
【详解】因为 ,则，
故由题意，正数x，y满足，可得：，
即，故，
当且仅当时取等，
故2．
四、解答题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知集合，
（1）分别求
（2）已知，若，求实数a的取值范围
【正确答案】（1）或，或；（2）.
【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；
（2）根据集合的包含关系得到，解不等式组即可求出结果.
【详解】解：（1）因为，所以或，
因为或，，所以或.
（2）因为，所以，解之得，所以．
16. 解不等式：
（1）
（2）．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)对原式因式分解化简即可解得.
(2)先将最高次前的系数化为正数再因式分解即可解得.
【小问1详解】
原不等式等价于：
解得：
所以原不等式解集为：
【小问2详解】
原不等式等价于：
即
解得：或
所以原不等式的解集为：
17. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或x>12
（2）
【分析】（1）根据题意易得，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；
（2）由题意易得的解集为，分类讨论与两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.
【小问1详解】
根据题意，得，
由得，即，
解得：或，
故不等式的解集为或x>12.
【小问2详解】
由题意得，的解集为，
当时，不等式可化为，解得，即的解集为，不符合题意，舍去；
当时，在开口向上，且与轴没有交点时，的解集为，
所以，解得，即，
综上：，
故实数的取值范围为.
18. 已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据交集结果得到，求出，检验后满足要求；
（2）得到为的子集，分和两种情况，得到不等式，求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
，，
，
故，解得，
此时，满足，
故
【小问2详解】
“”是“”的充分条件，
故为的子集，
若，此时，解得，
若，此时，解得，
综上，实数a的取值范围是.
19. 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合.
（1）判断集合是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合A，B为闭集合，且AR，BR，求证：R.
【正确答案】（1）不是闭集合，是闭集合，理由见解析
（2）证明过程见解析
【分析】（1）举出反例得到不是闭集合，并任取，设，证明出是闭集合；
（2）假设结论不成立，存在且，故，同理可得，存在且，故，推出或，分析可得出矛盾，故假设不成立，结论成立.
【小问1详解】
不是闭集合，是闭集合，理由如下：
，但，故不是闭集合，
，任取，设，其中，
则，，
故是闭集合；
【小问2详解】
反证法，假设，
因为AR，所以存在且，故，
同理可得，存在且，故，
因为，所以或，
若，则为闭集合，故，与矛盾，
若，则为闭集合，故，与矛盾，
综上，存在，使得，
故假设不成立，R.