2024-2025学年贵州省毕节市威宁县高一上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省毕节市威宁县高一上册第一次月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A B.
C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
6. 某公司在甲、乙两地销售同一种产品，利润（单位：万元）分别为，，其中（单位：件）为在当地的销量.若该公司在甲、乙两地共销售该产品件，则公司能获得的最大利润为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
7. 对于任意的，定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 若存在，使不等式成立，则实数a（ ）
A. 最大值是－2B. 最小值是6C. 最小值是－2D. 最大值是6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 最小值为2
D. 的最小值为2
11. 已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则的取值集合为_________．
13. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围为_________．
14. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）求．
16. 已知.
（1）若成立，求实数取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
17. （1）设为正数，求证：；
（2）解关于的不等式.
18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性.
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合.
2024-2025学年贵州省毕节市威宁县高一上学期第一次月考数学检测试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出集合A，再根据并集定义计算即可.
【详解】因为,所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得出正确选项.
【详解】命题“，”的否定，
即把存在变为任意，然后否定结论，即，.
故选：D
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由推出关系即可确定结果.
【详解】；；
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知实数，，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据不等式性质，结合反例法即可判断.
【详解】对A，，则，所以，故A正确；
对B，不妨设，则，故B错误；
对C，不妨设，则，故C错误；
对D，不妨设，则，故D错误；
故选：A
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 63%B. 47%C. 55%D. 42%
【正确答案】B
【分析】设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，画出图形，列出方程求解即可．
【详解】解：设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，
由题意，可得，，，解得．
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．
故选：B．
6. 某公司在甲、乙两地销售同一种产品，利润（单位：万元）分别为，，其中（单位：件）为在当地的销量.若该公司在甲、乙两地共销售该产品件，则公司能获得的最大利润为（ ）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
【正确答案】A
【分析】设该公司在甲地销辆，那么乙地销辆，根据条件列出关于利润的函数，求可借助二次函数求其最值．
【详解】设该公司在甲地销辆，，
那么乙地销辆，
利润，
函数的图象为开口向下的抛物线，
对称轴方程为，
∴时，取到最大值，这时最大利润为万元，
故选：A．
7. 对于任意的，定义运算.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据运算法则得到恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由已知得对任意实数恒成立，
所以，解得.
故选：C.
8. 若存在，使不等式成立，则实数a的（ ）
A. 最大值是－2B. 最小值是6C. 最小值是－2D. 最大值是6
【正确答案】A
【分析】根据x范围，求解不等式能成立问题，转化为，求出实数a的最大值.
【详解】因为存在，使不等式，
所以，其中为的最大值，
时，，所以，
而，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 
【正确答案】AD
【分析】根据表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可.
【详解】因为是实数，因此选项A正确；
因为空间集中没有元素，显然不正确，因此选项B不正确；
因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C不正确；
因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确，
故选：AD
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 的最小值为2
D. 的最小值为2
【正确答案】AB
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
B：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
C：当时，显然不成立，因此本选项不正确；
D：因为，当且仅当时，此时无实数解，故取不到等号，所以本选项不正确，
故选：AB
11. 已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B. 若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C. 若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D. 若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
【正确答案】ABD
【分析】由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、D项分别依次列举即可.
【详解】对于A项，由题意，孤立元素不相邻，集合中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确；
对于B项，若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确；
对于C项，易知这样的集合A有，，，， ，，，，，共10个，故C项错误；
对于D项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有，共6个，故D项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则的取值集合为_________．
【正确答案】
【分析】由，则集合与有相同的元素，即，或，或，求出的值，再代入检验是否满足集合元素的互异性即可求解.
【详解】由，则，或，或，
当时，，，，符合题意；
当，即时，，，，符合题意；
当，即时，此时集合中的元素不满足互异性，因此不符合，
因此取值集合为.
故答案为.
13. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围为_________．
【正确答案】
【分析】先求出成立的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立不等式求解即可.
【详解】由：，即：，
：，
又是的必要不充分条件，
则，
因此可得，即，
故答案为.
14. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】由关于的一元二次不等式恒成立得，参变分离后再由基本不等式求解最值．
【详解】由，得．
由题意可得，使得成立，
即，使得成立．
，当且仅当时等号成立，故．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）求．
【正确答案】（1）或.
（2）
【分析】（1）求出集合后利用并集的定义可求；
（2）利用（1）中的结果结合补集、交集的定义可求.
【小问1详解】
由题设或，
故或.
【小问2详解】
由（1），故
16. 已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解；
（2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.
【小问1详解】
若成立，
因为时，，可得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，
若成立，
因为时，，可得；
若成立时，，解得或；
若均成立时，可得，
所以至多有一个成立时，则.
综上上述：实数的取值范围为.
17. （1）设为正数，求证：；
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得证；
（2），即，再从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】（1）因为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号；
（2）解：，
即，
即，
①当时，的解集为，
②当时，，
等价于，即；
③当时，等价于，
即或，
综上可得：时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸尺寸，可使用纸是最少？
【正确答案】（1）
（2）海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
【分析】（1）由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可；
（2）由（1）知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号条件即可.
【小问1详解】
由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
【小问2详解】
由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或.
，当且仅当即时等号成立，
海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性.
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合中元素共有6个，，试确定集合.
【正确答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性.
（2）
（3），，，或.
【分析】（1）根据“包容”性的定义判断集合的“包容”性.
（2）根据集合的“包容”性求的值.
（3）根据集合具有“包容”性，且，再根据，可分析集合中的元素.
【小问1详解】
集合中的，
所以集合不具有“包容”性.
集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性.
【小问2详解】
若集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则且，
则，且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知无解，
故.
综上，.
【小问3详解】
因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，
根据题意，
且，
所以，或.
①当时，，
并且由，得，
由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得.
综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，或.
关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证.此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.