广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期开学作业检查数学试题

这是一份广东省东莞市东华高级中学2024-2025学年高二上学期开学作业检查数学试题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.计算：
A. B. C. 0D.
3.已知向量，满足，，且，则
A. B. C. D. 1
4.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是
A. B. C. D.
5.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为
A. B. C. D.
6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为
A. B. C. D.
7.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则
A. B. C. D.
8.已知函数，关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则
A. 事件A发生的概率为B. 事件发生的概率为
C. 事件A，B是互斥事件D. 事件A，B相互独立
10.下列命题为真命题的是
A. ，
B. 已知函数，则
C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件
D. 当时，函数有2个零点
11.如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则
A. 四面体的体积与表面积的数值之比为
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线BD与所成的角为
D. 过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.已知事件A与B相互独立，，，则__________.
14.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤：
15.（13分）2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组第2组第3组第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求样本中数据的第50百分位数；
（2）求样本数据的平均数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
16.15分已知在中，，
（1）求；
（2）设，求边上的高.
17.本小题15分如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面
底面，是的中点.
（1）求证：平面
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
18.本小题17分甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
19.17分已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
东华高级中学开学作业检查参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分】解：依题意，样本中数据落在的频率为：…………2分
样本数据的第50百分位数落在第四组，
且第50百分位数为…………4分
平均数为；…………6分
与两组的频率之比为…………7分
现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为
所有可能的情况为共15种.…………9分
其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.…………11分
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，
则…………13分
16（15分），，解得…………2分
可化为，
即，…………4分
展开得：，整理得，…………5分
将代入，得，
，…………7分
由知，，，
…………10分
又，，…………13分
边上的高…………15分
17（15分）证明：平面平面ABCD，交线为AD，
又底面ABCD为正方形，，平面ABCD，
平面PAD，…………3分
又平面PAD，，…………4分
又是正三角形，M是PD的中点，
…………5分
又，平面PCD，…………6分
平面…………7分
取BC、AD的中点分别为E、F，连接EF、PE、
由知平面PAD，，得平面PAD，…………8分
平面PAD，
，即，而，…………10分
≌，…………11分
，E为BC的中点，
，…………12分
又，
为侧面PBC与底面ABCD所成的二面角，且，…………13分
设正方形边长为a，可求得，，，…………14分
，即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为 …………15分
18（17分）解：设“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功”为事件，…………1分
依题意得，且相互独立.…………2分
“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
即甲第三次试跳才成功的概率为…………6分
“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，则，…………7分
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为…………10分
设“甲在两次试跳中成功i次”为事件，
“乙在两次试跳中成功i次”为事件，…………11分
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且为互斥事件，
所求的概率为…………12分
…………14分
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为…………17分
19（17分）由题知，向量的相伴函数为，…………1分
当时，…………1分
又，则，
所以，…………2分
故
；…………4分
因为
，…………6分
故函数的相伴特征向量，…………7分
则与方向相同单位向量为；…………8分
因为函数的相伴特征向量，…………9分
所以，
，…………10分
设点，又，，
所以，，…………11分
若，则，
即，即，…………12分
因为，，故，…………14分
又，故当且仅当时，成立，…………15分
故在的图象上存在一点，使得 …………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
D
B
D
D
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
ABD