湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（五）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（五）数学试卷（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 8 页.时量 120 分钟.满分 150 分.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 命题 ： ， 为真的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意 在 上恒成立，得 ，进而得 ，即得.
【详解】因命题 为真，故 在 上恒成立，
故 ，解得 ，
故命题 为真的一个充分不必要条件为 的子集，
故选：B
2. 已知复数 ， 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先化简复数 z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：法一：复数 ，
其在复平面内所对应的点 位于第四象限，
法二：复数 ，
第 1页/共 26页
其在复平面内所对应的点 位于第四象限，
故选：D．
3. 在矩形 ABCD 中， ，E 为 BC 的中点，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 为基底向量表示 ，根据数量积结合投影向量的定义运算求解.
【详解】由题意可知： ， ， ，
且 ，
则 ，
，
所以向量 在向量 上的投影向量是 .
故选：A.
4. 已知圆 与圆 的公共弦与直线 垂直，且垂足为
，则圆 N 的半径为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求公共弦方程，再根据直线垂直结论得到 ，解得 .将点 的坐标代入
，求出 ，得到圆的方程即可.
第 2页/共 26页
【详解】因为圆 与圆 ，
所以它们的公共弦方程为 .
因为公共弦与直线 垂直，所以 ，解得 .
将点 的坐标代入 ，可得 ，
圆 可化为 ，故圆 N 的半径为 .
故选：B.
5. 2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 方法有多种，与中国传统
数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的
周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按
照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周长，利用它们的算术平均数作为 的近似值可
得出结果.
【详解】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆心角为 ，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
第 3页/共 26页
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周
长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
6. 近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024 年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费
潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地
方至少去 1 人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则
丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有 2 种选法，根据古典概型即可求解.
【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有 （种）方案．因为甲、乙都去北
京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有 2 种方案，故甲、乙都去北京的概率为 .
故选：B．
7. 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ， 且 当 时 ， ， 则 不 等 式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，问题转化为 .由 得 ，
即 为偶函数；结合 可知 在 上单调递增，在 上单调递减.根据函数
的单调性和奇偶性求出不等式 的解集即可．
【详解】设 .
， ，∴ 为 上的偶
函数.
∵当 时， ， ，
第 4页/共 26页
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
由 得 ，
即 ， 所 以 ， 即 ， 解 得 ， 即 不 等 式
的解集为 .
故选：B.
【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，
设法构造目标函数，通过研究函数的单调性、最值等问题，进而解决不等式、方程及最值之类问题.准确构
造出符合题意的函数是解题的关键.本题解题关键为构造函数 ，研究函数 的奇偶性
和单调性，从而求解不等式.
8. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是 ，则（
）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直
径作截面，设两圆的半径，则 ， ，其中 ，表达出
第 5页/共 26页
， ，求导得到函数单调性，得到最值，并求出
，令 ，函数 在 上单调
递增，求出 ，得到答案.
【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，
过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 F，过点 作 ⊥AB，垂足为 E，
过点 作 ⊥OF，垂足为 D．
设圆 O 的半径为 R，圆 的半径为 r，当下面的球与上底面相切时， 取得最大值，
此时 为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为 ，内切球半径为 ，
故 ，故 R 的最大值为 ，且取最大值时，
三点共线，设 ，则 ，
则 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
.
因为 ，所以 ①，
整理得 ，解得 ，
令函数 ， ，
第 6页/共 26页
.
令函数 ， ，所以 是增函数.
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即这两个球体的半径之和的最大值为 .
由①可得 ，
这两个球体的表面积之和为 .
令 ，函数 在 上单调递增，
所以 ，即这两个球体的表面积之和的最大值为 .
故选：D．
【点睛】方法点睛：
立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问
题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量
关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得
最值.
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 设数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
第 7页/共 26页
A.
B. 数列 为等比数列
C.
D. 若 ，则数列 的前 10 项和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，可得 ，所以数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，依次可判断 A、
B、C，再由裂项相消法判断 D.
【详解】当 时，由 ，得 ，解得 ，
当 时， ，
即 ，
即数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ， ， ，所以 A、C 错误，B 正确；
又 ，
数列 的前 10 项和为：
，D 正确.
故选：BD.
10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、
思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线
就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线 围成的图形有 4 条对称轴
B. 曲线 围成的图形的周长是
第 8页/共 26页
C. 曲线 上的任意两点间的距离不超过 5
D. 若 是曲线 上任意一点， 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可.
【详解】曲线 ,
当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
所以曲线 的图象如图所示，
对于 A：由图可知曲线 围成的图形有 4 条对称轴，故 A 正确；
对于 B：曲线 由 4 个半圆组成，其周长为 ，故 B 正确；
对于 C：由图可知曲线 上任意两点间的最大距离为 ，故 C 错误；
对于 D： 到直线 的距离 ，
而 到直线 的距离为 ，由圆的性质得曲线 上一点到直线
的距离最小为 ，
故 的最小值为 ，故 D 正确；
第 9页/共 26页
故选：ABD
11. 定义在 上的函数 同时满足① ；②当 时， ，
则（ ）
A. B. 为偶函数
C. ，使得 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，求得 ，可判定 A 正确；根据题意求得 和
的值，得到 ，可判定 B 不正确；由 ，结合叠加法，可判定
C 正确；设 ，得出函数 是以 1 为周期的周期函数，且 ，结合绝对值
的性质，可判定 D 正确.
【详解】对于 A 中，因为 ，
令 ，可得 ，即 ，
又因为 时， ，即 ，
则 ，即 ，可得 ，
所以 ，所以 A 正确；
对于 B 中，由选项 A 可得 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ，
所以函数 不是偶函数，所以 B 错误；
对于 C 中，因为 ，
当 时，
，
且 ，符合上式，所以 ，
第 10页/共 26页
令 ，则 ，
即存 ，使得 ，所以 C 正确；
对于 D 中，令 ，
则 ，
即 ，即函数 是以 1 为周期的周期函数，
因为 时， ，则 ，
结合周期性可知，对任意 ，均有 ，
所以
又由 C 项可得 ，
令 ，即 ，即 ，
当 时，上式不成立；
当 时，上式化简得 ，此时方程无解；
当 时，上式化简得 ，此时方程无解；
可得对于任意 ， ，
所以，对于任意 ，都有 成立，所以 D 正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）
进行推理、论证求解.
3、利用函数的周期性时，将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，知道自变量的值进入已知解
析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条渐近线的垂线，垂
第 11页/共 26页
足为 ，延长 与双曲线的右支相交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】设出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而得到 ，分
别在直角三角形 中运用勾股定理，在 中，运用余弦定理，结合双曲线的定义和离心率公式，
计算可得所求值．
【详解】双曲线的方程为 ，一条渐近线方程为 ，
设 ，可得 ，
若 ，则 ，由双曲线的定义可得 ，
在直角三角形 中， ， ，
在 中，
，
即有 ，
所以 ，即 ，
则 .
故答案为： .
13. 一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ，则 的
值为__________．
【答案】-2
第 12页/共 26页
【解析】
【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到 ，联立得到
，故 .
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，即 ；
在点 处的切线方程为： ，即 ，
由已知 ，由 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
14. 质点每次都在四边形 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两
倍，若质点的初始位置在 A 点，经过 n 次移动到达 C 点的概率为______.
【答案】
【解析】
第 13页/共 26页
【分析】设移动 次后，点 移动到 的概率分别为 ， ， ， ，根据题目条件列关系式可
得 ，代入数据通过构造法得到数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，结合
可求结果.
【详解】设移动 次后，点 移动到 的概率分别为 ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
由 得 ， ，
∵ ，∴ ，故 ，
∴
∴ ，故 ，
∵ ，∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
故答案为： .
第 14页/共 26页
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过构造法得到数列 是以 为首项， 为公比的等
比数列，利用 的关系式即可求出 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 为边 的中点， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可以得到 ，进而得到 的值，即可求出结果.
（2）利用向量知识得到 ，结合余弦定理求出 和 ，即可得到
【小问 1 详解】
因为 .
所以 ，故 ，所以 .
【小问 2 详解】
由于 .
故 ，由余弦定理又有 ，而 ，
故有
，
.
第 15页/共 26页
所以 .
16. 设 ， .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若 ，试讨论 的单调性.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）当 时，先求导，再求 ，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）分 ， ， ， 四种情况，结合求导讨论即可求解．
【小问 1 详解】
若 ，则 ， ，
又 ，故 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问 2 详解】
， ，
当 时， ，令 ，即 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减， , 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递增，
当 ， 即 时 ， 令 ， 解 得 ， 或 ， 令 ． 解 得
，
所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减；
当 ，即 时，令 ，解得 ，或 ，令 ．解得 ，
第 16页/共 26页
所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减．
综上：当 时，所以 在 上单调递减， , 上单调递增；
当 时，所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时，所以 在 ， , 上单调递增， , 上单调递减．
17. 如图，在四棱锥 中， 平分 ， ， ， ，
为正三角形， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为 上一点， ，四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先证明 ，结合 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，再由面
面垂直判定定理证明结论；
（2）由条件结合体积公式求得四棱锥四棱锥 的高为 ，建立空间直角坐标系求平面 与平
面 的法向量，结合向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
证明：因为 平分 ，且 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，又
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
第 17页/共 26页
因为 为正三角形，所以 ．
在 中， ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
解得 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，
所以 ，且 .
故可以 为原点 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
第 18页/共 26页
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ，
故 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ，
所以 为平面 一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为椭圆 上异于顶点的一动点，
第 19页/共 26页
的角平分线分别交 轴、 轴于点 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求证： 为定值；
（3）当 面积取到最大值时，求点 的横坐标 ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式化简即可.
（2）根据角平分线定理知 得 ，由 即可求出 为定值
（3）表示出 的面积，利用导函数求出面积表达式的单调性，即可求出 面积取到最大值时，
求点 的横坐标.
【小问 1 详解】
由已知得 ，
则 ．
所以当 时， ；
【小问 2 详解】
设 ，在 中， 是 的角平分线，所以 ，
第 20页/共 26页
由（1）知 ，
同理 ，
即 ，解得 ，所以 ，
过 作 轴于 ．所以 ．
【小问 3 详解】
记 面积的面积为 ，由（1）可得，
，其中 ，
则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减．
所以当 时， 最大．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.
19. 给定整数 ，由 元实数集合 定义其相伴数集 ，如果 ，
则称集合 S 为一个 元规范数集，并定义 S 的范数 为其中所有元素绝对值之和.
（1）判断 、 哪个是规范数集，并说明理由；
（2）任取一个 元规范数集 S，记 、 分别为其中最小数与最大数，求证：
；
（3）当 遍历所有 2023 元规范数集时，求范数 的最小值.
注： 、 分别表示数集 中的最小数与最大数.
【答案】（1）集合 A 不是规范数集；集合 B 是规范数集；
（2）证明见详解； （3） .
第 21页/共 26页
【解析】
【分析】（1）根据 元规范数集的定义，只需判断集合 中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于
等于 1 即可；
（2）利用 元规范数集的定义，得到 ，从而分类讨论 、 与 三种情况，
结合去绝对值的方法即可证明；
（3）法一：当 时，证得 ，从而得到 ；当 时，证得
，从而得到 ；当 时，分类讨论 与 两
种情况，推得 ，由此得解；
法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.
【小问 1 详解】
对于集合 A：因为 ，所以集合 A 不是规范数集；
对于集合 B：因为 ，
又 ， ， ， ， ，
，
所以 B 相伴数集 ，即 ，故集合 B 是规范数集.
【小问 2 详解】
不妨设集合 S 中的元素为 ，即 ，
因为 S 为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
当 时，
则
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
第 22页/共 26页
则
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
则 ，
当且仅当 时，等号成立；
综上所述： .
【小问 3 详解】
法一：
不妨设 ，
因 S 为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
当 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数 ，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即范数 的最小值 ；
当 时，
则当 时，可得
第 23页/共 26页
，
当且仅当 时，等号成立，则 ，
则范数
，
当且仅当 时，等号成立，
又
，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即范数 的最小值 ；
当 ，使得 ，且 ，
当 ，即 ，即 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数
；
第 24页/共 26页
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，
所以 ，
所以范数 的最小值为 ；
当 ，即 ，即 时，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则当 时，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
则范数
；
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，
所以 ，
所以范数 ；
综上所述：范数 的最小值 .
法二：
不妨设 ，
因为 S 为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得
，
第 25页/共 26页
所以对于 ，同样有 ，则 ，
由（2）的证明过程与结论 可得， ，当且仅
当 时，等号成立，
即 ， ，…… ，
所以范数
，
当且仅当 时，等号成立，
所以范数 的最小值 .
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解 元规范数集的定义，得到 ，再将集合中的元素进
行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.
第 26页/共 26页