贵州省黔东南州2024届高三数学上学期12月统测试题含解析

这是一份贵州省黔东南州2024届高三数学上学期12月统测试题含解析，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知贵州某果园中刺梨单果的质量，若函数，则，在正四棱台中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，，则的实部与虚部分别为（）
A.，B.，C.，D.，
2.设集合，，则（）
A.B.C.D.
3.若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（）
A.B.C.3D.4
4.若，，则（）
A.3B.C.5D.
5.若平面，截球所得截面圆的面积分别为，，且球心到平面的距离为3，则球心到平面的距离为（）
A.B.2C.D.4
6.已知是奇函数，且在上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（）
A.B.
C.D.
7.已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（）
A.20B.60C.40D.80
8.是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（）
A.12B.11C.10D.9
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数，则（）
A.的最小正周期为10B.的图象关于点对称
C.在上有最小值D.的图象关于直线对称
10.在正四棱台中，，，，则（）
A.该正四棱台的体积为
B.直线与底面所成的角为
C.线段的长为
D.以为球心，且表面积为的球与底面相切
11.已知是圆上一点，是圆上一点，则（）
A.的最小值为2
B.圆与圆有4条公切线
C.当取得最小值时，点的坐标为
D.当时，点到直线的距离小于2
12.已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（）
A.的取值范围是B.的取值范围是
C.的最小值为4D.的最小值是13
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中，的系数为_________.
14.向量在向量上的投影向量为，则_________.
15.烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为℃，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：），加热到第时，水温的瞬时变化率是_________℃/.
16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，，则的离心率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：
（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.
（2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.
附：，其中.
18.（12分）
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角；
（2）若，求的最小值.
19.（12分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D，E分别为，的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20.（12分）
已知为等比数列的前项和，，且，.
（1）若为等差数列，求数列的通项公式；
（2）若为等比数列，，求.
21.（12分）
已知点，，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求的方程.
（2）若不垂直于轴的直线过点，与交于C，D两点（点C在x轴的上方），，分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，证明：.
（2）试问是否为的极值点？说明你的理由.
贵州省黔东南州2024届12月份高三统测
数学参考答案
1.A因为，，所以，其实部与虚部分别为，.
2.C因为，所以.
3.B设该等差数列为，则，则，所以公差.
4.C因为，，所以，，所以，所以.
5.A平面，截球所得截面圆的半径分别为，，则，，则，.设球的半径为，球心到平面的距离为，则，所以.
6.D因为是奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.又满足，所以为奇函数，而不满足，故既是奇函数，又在上单调递增.
7.B因为（单位：）服从正态分布，且，所以，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数，所以.
8.D依题意可得.设，.因为，所以，因为，所以，
所以.
9.AD，A正确.因为，所以的图象不关于点对称，B错误.
因为，所以的图象关于直线对称，D正确.
若，则，所以在上有最大值，没有最小值，C错误.
10.BCD连接，，过作，垂足为.因为，，所以，，所以，，所以该正四棱台的体积，A错误.直线与底面所成的角为，由，所以，B正确.，C正确.
设以为球心，且表面积为的球的半径为，则，解得，所以以为球心，且表面积为的球与底面相切，D正确.
11.AB因为，所以的最小值为，所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，A，B均正确.因为直线的方程为，代入，得，当取得最小值时，为线段与圆的交点，所以点的坐标为，C错误.过点作圆的切线，切点为（图略），则，当为线段的延长线与圆的交点，且点与重合时，，此时点到直线的距离等于2，D错误.
12.ABD作出的大致图象，如图所示.
，其中，所以，则，，.当时，是偶函数，则，所以，，A，B均正确.，当且仅当，即时，等号成立，但，C错误.
因为，所以.
设函数，则，当时，，当时，，所以，D正确.
13.的展开式中，的系数为.
14.因为向量在向量上的投影向量为，
所以.
15.因为水的初始温度为℃，所以，解得，所以，则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.
16.2设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为（图略）.易得，，则由，得，所以，得，所以，故.
17.解：（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，
这人是女大学生的概率为.
（2）零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到，
当时，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.
18.解：（1）由及正弦定理，
可得.
因为，
所以.
又，所以，则，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
当，时，取得最小值，
所以的最小值为.
19.（1）证明：因为，，，
所以，所以.
因为平面平面，且平面平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：取的中点，连接.以为坐标原点，
的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴与平行，
则，，，，，.
设平面的法向量为，，，
则
令，得.
设平面的法向量为，，
则
令，得.
因为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20.解：（1）设的公比为，则，
.①
由，得，
即，解得或2.
将代入①，得，不符合条件；
将代入①，得，此时为等差数列，所以.
（2）由（1）可知，若为等比数列，则.
由，
得，
则，
故.
21.解：（1）因为，
所以是以，为焦点，且长轴长为4的椭圆.
设的方程为，则，可得.
又，所以，
所以的方程为.
（2）设直线，，.联立
消去得，
易知，且，.
由，，
得.
（方法一）
因为所以，
所以，
所以为定值，且定值为.
（方法二）
因为，
所以，
所以为定值，且定值为.
22.（1）证明：，要证，
只需证，
即证.
设函数，
则，则在上单调递增，
则，
所以当时，得证，
从而当时，得证.
（2）解：的导数.
令函数，，
当时，.
的导数，
当时，，则在上单调递增.
因为，，所以，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，所以当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，男大学生
女大学生
合计
关注原创音乐剧
250
300
550
不关注原创音乐剧
250
200
450
合计
500
500
1000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828