2024-2025学年山东省日照市高二上册第一次月考数学阶段检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省日照市高二上册第一次月考数学阶段检测试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
2. 设、，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
5. 如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
7. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点Mx1,y1在直线，点Nx2,y2在直线上，且，的最小值为（ ）
A B. C. D. 5
二、多选题（18分）
9. 对于直线l：，下列选项正确的是（ ）
A. 直线l恒过点
B. 当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C 若直线l不经过第二象限，则
D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
三、填空题（15分）
12. 计算：______．
13. 在棱长为2正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
14. 已知点,点是内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出的最大值为___.
四、解答题
15. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
16. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.
17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程：
（2）求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
2024-2025学年山东省日照市高二上学期第一次月考数学阶段
检测试卷
一、单选题（共40分）
1. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】D
【分析】应用复数除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：D.
2. 设、，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
3. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得.
【详解】若，则有，解得，
当时，，不重合，符合要求；
当时，，不重合，符合要求；
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可.
【详解】由，解得
当共线时，由，即解得，
所以当夹角为钝角时，
故选：B
5. 如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角.
【详解】连接交于，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，
在中，，
则，则，
，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
6. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
7. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出.
【详解】平行六面体中，，
因为，，，，
所以
，
所以，即的长为.
故选：A.
8. 已知点Mx1,y1在直线，点Nx2,y2在直线上，且，的最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
【正确答案】D
【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点Mx1,y1到点的距离与点Nx2,y2到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值.
【详解】由已知表示点Mx1,y1到点的距离，
表示点Nx2,y2到点的距离，
所以，
过点作，垂足为，
因为直线的方程为，，
所以，
又直线与直线平行，，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
所以当点为线段与直线的交点时，
取最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得，
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.
二、多选题（18分）
9. 对于直线l：，下列选项正确的是（ ）
A. 直线l恒过点
B. 当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若直线l不经过第二象限，则
D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为
【正确答案】ABD
【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D.
【详解】可变形为，由得所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，则
C 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【正确答案】ABD
【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积.
【详解】A选项，复数，则，
故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确；
B选项，设，，，
则，即，
故，
两边平方得，
故，所以，
即，故，
其中，故，B正确；
C选项，设复数，满足，
但，C错误；
D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部，
表示原点为圆心，为半径的圆的内部，
则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），
故面积为，D正确.
故选：ABD
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
【正确答案】BCD
【分析】如图，建立空间直角坐标系，由，求出，由空间中两点的距离公式和二次函数的性质可判断A；由点到平面的距离公式和三棱锥的体积公式可判断B；由线面角的向量公式和二次函数的性质可判断C；先求出点，再求出平面PBC截三棱柱所得的截面，即可判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A3,0,0，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因为，所以，
所以，
所以．
当，时，，所以A错误；
因为，
所以，
因为平面ABC的法向量为，
所以点P到平面ABC的距离为为定值，
即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，
，所以D正确．

故选：BCD.
三、填空题（15分）
12. 计算：______．
【正确答案】
【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可.
【详解】.
故
13. 在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．
【正确答案】 ①. 平面 ②.
【分析】由四点共面和三点共线的性质（系数之和为1），由满足可知与共面，由 点满足可知与共线. 根据最小且最小时，确定出的具体位置，然后根据数量积进行计算.
【详解】解：由四点共面定理及三点共线定理可知： 平面，直线，
当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点.
所以，,
又因为是边中点，所以
故.
故平面，
本道题从空间四点共面和三点共线的常用结论，判断出点的位置，然后又考查到向量加法的一个重要中线性质，把数量积中一个向量用中线性质表示出来，把数量积的求解变得简单了许多，这是一道向量的综合类题目，考查了向量的多个知识点.
14. 已知点,点是内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出的最大值为___.
【正确答案】
【分析】利用点坐标即的坐标，引入与轴的夹角，将点的坐标用的三角函数表示，从而将所求式转化成，求其值域即得.
【详解】
如图，设与轴的夹角为，因点是内(包含边界)一动点，
由图知，当点与点重合时，直线的斜率最小，为,此时，
故，因，
故，，则 ，，
于是，
因，则，由正弦函数的图象可得，，
即，当且仅当时，即时，取得最大值，此时点与点重合.
故答案： .
关键点点睛：本题主要考查线性区域内点的坐标相关的解析式的范围问题，属于较难题.
解决此类问题的关键是运用向量知识，将点的坐标用一个变量的函数表示，继而将所求式化成关于该变量的函数式，通过求函数的值域求其范围即得.
四、解答题
15. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）在中，利用三角形的中位线定理，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面一个法向量，结合向量的距离公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：在中，因为分别为的中点，可得，
因为平面，且平面，所以平面.
【小问2详解】
解：因为，且，平面，
所以平面，
以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为且四边形为正方形，
可得，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为.
16. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程，
（2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程.
【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，
所求直线的方程为，即.
（2）设关于直线对称的点为，
则解得
因为反射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
故反射光线所在直线方程为，即.
17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程：
（2）求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.
（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.
【小问1详解】
边上的高所在直线方程为，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
边上的中线所在的直线方程为，
由解得，即.
设，则，
所以，解得，即.
，到的距离为，
所以三角形的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）.
【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求.
【小问1详解】
因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
【小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
【正确答案】（1）2 （2）①；②
【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可
（2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算，
把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可.
②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题.
【小问1详解】
由离散曲率的定义得：，
，
，
，
四个式子相加得.
【小问2详解】
①如图，分别取的中点，连接，显然有，
所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，

因为平面，平面，所以，，，，
因为，，所以平面，又因为平面，所以，
由点处的离散曲率为可得，
所以，，，而，，
所以，故异面直线与的夹角的余弦值为.
②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，设，
在中，
因为，所以，所以，
故，
当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.
关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题.