2024-2025学年山东省淄博市高二上册第一次月考数学阶段检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市高二上册第一次月考数学阶段检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ）
A. B. C. 与相交D. 或
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间基底的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A. “恰有一名男生”和“全是男生”B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”D. “至少有一名男生”和“全是女生”
6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用3局2胜制，则甲以2：1获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A 若事件A，相互独立，，，则
B. 任意向量满足
C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
11. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B相互独立
B. 事件A与事件B互斥
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，且，则_________
13. 甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______.
14. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的最小值为________.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知空间三点，，．
（1）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标；
（2）求点C到直线AB的距离．
16. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
（1）求顾客一次抽奖中奖的概率；
（2）若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值.
17. 已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用表示；
（2）求的长度；
（3）求直线与所成角余弦值．
18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
2024-2025学年山东省淄博市高二上学期第一次月考数学阶段
检测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ）
A. B. C. 与相交D. 或
【正确答案】A
【分析】判断的关系，再利用空间位置关系的向量证明判断即得.
【详解】由向量，，得，即，
所以.
故选：A
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3. 如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据向量的运算法则即可求解.
【详解】可知：，
即.
故选：B.
4. 若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，，，不共面，则，，不共面，A不是；
对于B，令，而无解，
因此向量，，不共面，B不是；
对于C，由，得，，共面，C；
对于D，由于不成立，向量不共面，D不是.
故选：C
5. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A. “恰有一名男生”和“全是男生”B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”D. “至少有一名男生”和“全是女生”
【正确答案】A
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；
对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.
故选：A
6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种，
若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5；
若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法；
所以所求概率为.
故选：A
7. 如图，在直二面角中，是直线上两点，点，点，且，，，那么直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.
【详解】如图，以B为坐标原点，以过点B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
故 ,
则 ,
故直线与直线所成角的余弦值为 ，
故选：B.
8. 甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用3局2胜制，则甲以2：1获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】甲以2：1获胜指前两局甲胜一局，第3局甲胜，则概率为．
【详解】甲以2：1获胜指前两局甲胜一局，第3局甲胜
则概率为
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AD
【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，故A正确；
，故B错误；
，所以与不垂直，故C错误；
又，所以，故D正确；
故选：AD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若事件A，相互独立，，，则
B. 任意向量满足
C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
【正确答案】ACD
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；利用空间向量基本定理及共面向量定理判断C；计算空间向量夹角的余弦判断D.
【详解】对于A，由，，得，，事件相互独立，
则、也相互独立，，A正确；
对于B，，不一定共线，则不一定成立，B错误；
对于C，若、、是空间的一组基底，且，
则，即，则四点共面，C正确；
对于D：由，得，而与x>310矛盾，
因此不共线，为锐角，D正确.
故选：ACD
11. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B相互独立
B. 事件A与事件B互斥
C.
D.
【正确答案】ACD
【分析】对于A、B：根据古典概型求，结合独立事件和互斥事件分析判断；对于C：根据事件的运算求解；对于D：根据古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：第一次向下数字为1，2，3，4，共4个基本事件，则，
设为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中为第一次向下的数字，为第二次向下的数字，
则有，
共16个基本事件，
可知事件包含，共8个基本事件，则，
事件包含，共4个基本事件，则，
可知，
所以事件A与事件B相互独立，且事件A与事件B不互斥，故A正确，B错误；
因为，故C正确；
事件C等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”，
包含，共10个基本事件，
则，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，且，则_________
【正确答案】##
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求.
【详解】因为，，，
所以，解得.
故答案为.
13. 甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______.
【正确答案】
【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中，
则事件甲、乙分别向同一靶子射击一次，两人均未中靶，
故.
故答案为.
14. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的最小值为________.

【正确答案】
【分析】取BD的中点E，连接AE，EC，则，，同时可证得.因此以E为原点，分别以EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，设，，求出的坐标，配方后可得最小值．
【详解】取BD的中点E，连接AE，EC，则，，.
因为，所以，即.
以E为原点，分别以EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.设，，
所以，
从而有，
当，时，.
本题考查用空间向量法求空间两点间距离，解题关键是建立空间直角坐标系各，引入参数设，．考查了学生的运算求解能力．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间三点，，．
（1）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标；
（2）求点C到直线AB的距离．
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）设，根据题意列出方程组，求解即可；
（2）根据点线距离向量公式求解即可.
【小问1详解】
，，
设，
，，
，．
，整理得．
，
．
或．
【小问2详解】
取，，
则，．
C到直线AB的距离为．
16. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖.
（1）求顾客一次抽奖中奖的概率；
（2）若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值.
【正确答案】（1）；
（2）2000元.
【分析】（1）由题意，利用列举法写出满足题意的样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解；
（2）由（1），求出每次中一、二等奖的概率，即可求解.
【小问1详解】
设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球，
从中随机抽取两个小球，则有
，，，，，，，，，共10种情况，
其中中奖的情况共有7种.
所以顾客一次抽奖中奖的概率为.
【小问2详解】
由（1）可知，每次中一等奖的概率为.
每次中二等奖的概率为.
故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元.
17. 已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用表示；
（2）求的长度；
（3）求直线与所成角的余弦值．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）0.
【分析】（1）根据给定的基底，利用空间向量的线性运算求出.
（2）由（1）的结论，利用数量积的运算律求出模.
（3）由（2）结合线线角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在平行六面体中，，，
.
【小问2详解】
由（1）知，，而，
，则，
因此．
所以的长度为.
【小问3详解】
由（2）知，，，，
，则，即，
所以直线与所成角为，其余弦值为0.
18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.
(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
【小问1详解】
设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,
则,
故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.
【小问2详解】
因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为
.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）由题意和勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明.
（2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到平面的距离.
（3）假设存在这样的点Q，则存在使得，利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得，即可下结论.
【小问1详解】
在中，，则，即，
又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由平面平面，平面平面平面，
得平面，由平面，得，而，，
则以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

，中点，
，由，得，则，
，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
假定存在点满足条件，即存在使得，
而，则，
由平面，要平面，当且仅当，
即，解得，
所以线段上不存在使得平面.