2024-2025学年湖北省黄梅县高二上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省黄梅县高二上册9月月考数学检测试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
3. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A. B. 1C. 3D. 或3
4. 如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在不超过12质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A. B. C. D.
7. 已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
8. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A. 2B. 3C. D.
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题6分，共18分）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 经过定点直线都可以用方程来表示
B. 经过定点的直线都可以用方程来表示
C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式
D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则
D. 已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
11. 如图，四边形ABCD中，，，，，将沿AC折到位置，使得平面平面ADC，则以下结论中正确是（ ）
A. 三棱锥的体积为8
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 二面角的正切值为
D. 异面直线AC与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．
12. 已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．
13. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______．
14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积．
16. 如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
（2）若在点球大战第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
18. 已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程：
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．
19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．

（1）求证：直线平面，并求三棱锥的体积：
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
2024-2025学年湖北省黄梅县高二上学期9月月考数学检测试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1. 直线过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】当直线的斜率存在时，且或；直线的斜率不存在时，，综合即得解
【详解】由直线的倾斜角的范围是，得直线的斜率存在时，或.
当时，，
或，解得或.
当直线的斜率不存在时，符合题意
综上，实数的取值范围是.
故选：B
2. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.
故选：B
3. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A. B. 1C. 3D. 或3
【正确答案】C
【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可.
【详解】因为，，
由可得且，
解得，
故选：C.
4. 如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】推导出，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.
【详解】在平行四边形中，因为为的中点，连接、交于点，且，
所以，，则，
因此，.
故选：B.
5. 在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出不超过12的质数，利用列举法结合古典概率求解作答.
【详解】不超过12的质数有，任取两个不同数有，共10个，
其中和为偶数结果有，共6个，
所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为.
故选：B
6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.
【详解】平面,平面, 平面,
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则
设平面的法向量为，则
，令，则
设点到平面的距离为，则
故直线到平面的距离为.
故选：D
7. 已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【正确答案】C
【分析】由余弦定理计算出，然后求出，由三角形的面积公式计算，最后转化为函数的最大值即可求解.
【详解】设，则，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
所以当时，即时，的面积最大，最大为，
故选：C
8. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【正确答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.
【详解】由题意，平面，四边形正方形，
如图，建立空间直角坐标系，

则，，A2,0,0，，，，，
设，，则，
又，，所以，则，
由题意，四点共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，
即，
所以，
所以，
所以截面的面积为.
故选：D
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题6分，共18分）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 经过定点的直线都可以用方程来表示
B. 经过定点的直线都可以用方程来表示
C. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式
D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
【正确答案】ABC
【分析】根据直线方程五种形式的限制条件解决即可.
【详解】对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误；
对于B，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B错误；
对于C，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C错误；
对于D，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D正确；
故选：ABC
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则
D. 已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
【正确答案】BCD
【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切，由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】直线，
所以，所以，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
圆，圆心为到直线的距离为，
所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确；
由：可得，圆心，，
由：可得x−22+y−42=20−m>0，
圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，
即，解得：，故C正确；
设，所以，
因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，
所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为
.
整理可得：，与已知圆C：，相减可得.
消去可得：，即，
由解得，所以直线经过定点，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，四边形ABCD中，，，，，将沿AC折到位置，使得平面平面ADC，则以下结论中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为8
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 二面角的正切值为
D. 异面直线AC与所成角的余弦值为
【正确答案】ABC
【分析】对于A，先四边形ABCD中，利用已知条件结正弦定理求出的长，过作于，则可求出，从而可求出三棱锥的体积，对于B，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设为的外心，三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则，从而可求出，进而可得三棱锥的外接球的表面积，对于C，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，从而可求得结果，对于D，如图建立空间直角坐标，利用空间向量求解即可
【详解】过作于，
在中，因为，所以，，
由正弦定理得,即，解得，
所以，，
因为,
所以
，
由正弦定理得，即，解得，
所以
，
因为平面平面ADC，平面平面，，
所以平面ADC，
所以三棱锥的体积为，所以A正确，
设为的外心，外接圆半径为，由余弦定理得
所以，
由正弦定理得，所以，
取的中点，连接，则，
，
设三棱锥外接球的半径为，球心为，设，则
，即，解得，，
所以三棱锥外接球的表面积为，所以B正确，
过作于，连接，因为平面ADC，平面ADC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，所以C正确，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，过作于，则
，，
则
所以
设异面直线AC与所成角为，则
，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．
12. 已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．
【正确答案】
【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进而结合点到这两条直线距离相等且为即可求解.
【详解】解：，解得，
∴中心坐标为，
点M到直线的距离
设与垂直两线分别为，则点到这两条直线距离相等且为，
设方程为
∴，解得或 ，
∴它邻边所在的直线方程为．
故
13. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可.
【详解】曲线，即
直线过定点，
如图：B−2,1，，
当直线与曲线有一个交点时，
则直线夹在了直线与直线之间，而，
所以此时k的取值范围是1,+∞，
当直线与曲线相切时也只有一个交点，
则圆心0,1到直线的距离为：
，解得，
所以实数k的取值范围是.
14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
【正确答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
∴，
∴
令，，则，
当时，，
，
，
∴存在，使，即，
∴当时，的最小值为.
故答案为.
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出直线的方程，联立的方程解出，然后设，为的中点，所以，代入各自方程求出，然后计算所在直线的方程即可；
（2）先求出点到直线的距离，然后利用两点间的距离公式求出，计算的面积即可.
【小问1详解】
因为，所以设直线方程为：，
将代入得，所以直线的方程为：，
联立，所在直线方程：，解得，
设，因为为的中点，所以，
因为在直线上，在上，
所以，，
解得，所以，，
所以所在直线的方程为：，即.
【小问2详解】
点到直线的距离为：，
又，
所以.
16. 如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）
（2）存在点，使得平面，.
【分析】（1）取的中点为，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系求解直线与平面所成角的正切值即可；
（2）假设在上存在点，使得，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.
【小问1详解】
取的中点为，连接，
因为，所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又，所以，
，，所以，，所以，
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
P0,0,1，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，，令则，
所以，
设直线与平面所成角为，
，
所以，所以，
所以直线与平面所成角的正切值.
【小问2详解】
在上存在点，使得，
所以，所以，
所以，所以，
因为平面，所以，
即，解得，
所以存在点，使得平面，此时.
17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.
(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
【小问1详解】
设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,
则,
故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.
【小问2详解】
因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为
.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
18. 已知圆心为C圆经过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程：
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）x=1或
（3）24
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程；
（2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解.
（3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可.
【小问1详解】
,AB的中点为
AB的垂直平分线方程为，即,
将联立可得,即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则x=1，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为x=1或.
【小问3详解】
在圆的标准方程上，
设,
又因为点，，
所以
，
当时，取最小值为.
19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．

（1）求证：直线平面，并求三棱锥的体积：
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）设，由正弦定理和三角形相似关系可证得，结合面面垂直的性质可证得平面，由此可得，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得，根据棱锥体积公式可求得结果；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，可确定当时，取得最大值，由此可确定，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
设，连接，

为底面圆的内接正三角形，，为中点，
又，，；
，，，，
，∽，，；
平面，平面，平面平面，
平面平面，平面，平面，
又平面，，
平面，平面，平面；
为中点，，即，
又平面，平面，，，
，平面，平面，
，，，
又，平面，
.
【小问2详解】
，为中点，又，为中点，，
，，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，，，
设，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
设直线与平面所成角为，
，
令，则，，
，
，当，即时，，
，此时，
，
点到平面的距离.
关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量的函数的形式，通过函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位