山东省济南市章丘区章丘区新世纪博雅实验学校2023-2024学年七年级下学期第一次月考 数学试题（含解析）

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第I卷（选择题）
一、单选题（每题4分，共48分）
1. 计算的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可求解，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
解：，
故选：．
2. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方，根据完全平方公式，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A. 8.23×10﹣6B. 8.23×10﹣7C. 8.23×106D. 8.23×107
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000823=8.23×10-7．
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（ ）
A. ∠1与∠2是对顶角B. ∠2与∠5是同位角
C. ∠3与∠5是同旁内角D. ∠2与∠4是内错角
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
解：A．∠1与∠2是对顶角，正确，因此选项A不符合题意；
B．∠2与∠5是直线a、直线b被直线c所截得的同位角，正确，因此选项B不符合题意；
C．∠3与∠5不是同旁内角，不正确，因此选项C符合题意；
D．∠2与∠4是直线a、直线b被直线c所截得的内错角，正确，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，理解同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义是正确判断的前提．
5. 下列能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点直接可得到答案．
解：；
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
不是形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
6. 如图，下列各组条件中，能得到的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线判定即可得到正确选项．
解：由，得，由其它条件均不能得到；
故选．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
7. 若，则的值等于（）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
∵，
∴，
∴
，
故选： A．
8. 若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数m的值为（ ）
A. 4B. ﹣4
C. ±4D. 以上结果都不对
【答案】C
【解析】
∵（x±2y）2=x2±4xy+4y2，
∴在x2+mxy+4y2中，±4xy=mxy，
∴m=±4．
故选C．
9. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（）张
A. 3B. 6C. 8D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
计算出拼成的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张，即可得出结论；
解：长为、宽为的长方形面积为：
，
由题意知：A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为，
中含有6张A类卡片，11张B类卡片，3张C类卡片，
需要B类卡片11张，
故选：D．
10. 将四个长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查完全平方式、完全平方公式几何背景，先用a、b表示，，再根据，列出等式，整理后得出a、b的关系．
解：，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值，代入即可求解．
解：∵x2+mx+n=(x+1)(x-2)=x2-x-2，
∴m=-1，n=-2，
∴m+n=-1-2=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
12. 如图，直线与相交于点B，，，则的度数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等、几何图中角度的计算，根据两直线垂直，可得的度数，根据对顶角的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案．
解：，
．
与是对顶角，
．
由角的和差，得
，
故答案为：
13. 计算：______．
【答案】81
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，利用完全平方公式进行计算即可．熟记完全平方公式是解题的关键．
解：
．
故答案为：．
14. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据长方形的另一边长等于长方形的面积除以一边长，即可求解．
解：根据题意得：这个长方形的另一边长是
．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
15. 如图，直线、相交于点，平分，于点．若，则下列说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．①根据角平分线的性质，得出，然后根据对顶角相等，得出，进而得出；②根据，，得出，从而求出结果；③由，求出结果即可．
解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，符合题意；
②∵，，
∴，
∴；符合题意；
③∵，
∴，符合题意；
综上分析可知，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律按的次数由大到小的顺序．
请根据规律，写出的展开式中含项的系数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键．
解：∵展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
∴展开式中的第二项系数为，
由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∴的展开式中的第二项系数为，
故答案为：．
三、解答题（共86分，写出相应的推理过程或运算步骤，否则不得分）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，实数混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据零指数幂和负整数指数幂进行计算即可．
【小问1】
解：
．
【小问2】
解：
．
18. 计算：（要求用公式简便计算）
（1）；
（2）．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式．
（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：
．
19. 先化简再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】通过整式的运算法则，进行化简，再代入求值即可．
解：原式=
=
=
=
=，
当，时，原式==．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握完全平方公式、多项式乘多项式法则是解题的关键．
20. 如图，，，．问吗？为什么？
【答案】平行，原因见.
【解析】
【分析】根据已知条件求出关于直线CD，AB的内错角的度数，看它们是否相等，以此来判定两直线是否平行．
平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴ （内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的判定，垂线的定义，周角补角的定义，比较简单．
21. 如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分．
（1）若，试探究与之间的位置关系．
（2）若，则（1）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想．
（1）根据，求出的度数，根据角平分线得到与的度数，即可得到答案；
（2）根据求出的度数，根据角平分线得到与的度数，即可得到答案．
【小问1】
解：．理由如下：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【小问2】
解：成立．理由：
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
22. （1）试证明代数式的值与x的值无关，
（2）若的展开式中不含和的项，求m，n的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断；
（2）先把原式展开，从中找出和项，再让它的系数为0，从而得到，的方程组，解方程组求解即可．
解：（1）
，
代数式的值与无关；
（2）原式的展开式中，含的项是：，
含的项是：，
由题意得：，
解得．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23. 如图，直线与直线交于点，射线在内部，是的平分线，且．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算，一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式．
（1）先求，再求即可求出答案；
（2）设，根据题意列出方程式，再根据补角定义即可解决问题，
【小问1】
解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
；
【小问2】
解：设，则，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
24. 已知，．
（1）求和；
（2）若变量，满足，求与的关系式；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式计算，再合并可求出A，先计算除法，再合并，可求出B，即可；
（2）把（1）中结果代入，即可求解；
（3）根据幂的乘方和同底数幂相乘计算，即可求解．
【小问1】
解：
【小问2】
解：∵，
∴，
∴；
【小问3】
解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方和同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，；）．
（1）若，则的度数为__________；
（2）猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出相应的图形并直接写出角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或或或或
【解析】
【分析】（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据以及，进行计算即可得出结论；
（3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数．
【小问1】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【小问2】
解：猜想：，
理由如下：∵，
又∵，
∴，
即；
【小问3】
解：存在，、、、、．
理由：当时，如图所示：
∴，
∴；
当时，如图所示：
∴；
当时，如图所示：
∴，
∴；
当时，如图所示：
∴，
∴；
当时，延长交于，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
26. 【探究】若x满足，求的值．
设，
则，
；
【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
【拓展】
（2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形和正方形．
①____________，____________；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）5；（2）①，；②12
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可；
（2）①分析图形可知，，从而可得解；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式、平方差公式求解即可．
解：（1）设，，
则，，
；
（2）①四边形是长方形，，四边形是正方形，
，，
，
，
故答案为：，；
②长方形的面积是8，
，
阴影部分的面积．
设，，则，，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积12．