江苏省泰州市2024-2025学年高三下学期开学调研测试数学试题（Word版附解析）

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1.已知向量AB=(x,2)，BC=(2,1).若AB//BC，则|AC|=
A. 4B. 2 5C. 5D. 3 5
2.已知集合A={x|x2-2x-80)，单位圆O分别相切于A，B两点，当|AB|最小时，p=
A. 2 3B. 2 2C. 3D. 2
7.对一排8个相邻的格子进行染色．每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色方法共有
A. 89种B. 55种C. 54种D. 34种
8.已知a∈R，a≠-1，函数f(x)=lnax+1x-1，则
A. 当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递减
B. 当a0，函数f(x)=cs2ωx+π6在区间0,π3上单调递减，则ω的最大值为________.
14.已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆x22+y2=1上三个不同的点(A,B,C依次逆时针排列).若∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘，则|OA|2+|OB|2+1649|OC|2的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若点D在边BC上，∠ADB=2B，sin(A-B)sinC+ 2bc=1.
(1)求角A的大小；
(2)若tanC=2，c=2，
(ⅰ)求csB的值；
(ⅱ)求AD的长．
16.(本小题15分)
在三棱锥P-ABC中，△ABC与△PAC都是边长为6的等边三角形，PB=9.点D为PB的中点，点E在线段AB上，BE=2EA.
(1)求证：PB⊥AC；
(2)求DE的长
(3)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知a∈R，f(x)=ln(x+1)，g(x)=ax.
(1)若a=-2，曲线y=f(x)上一点P处的切线与直线y=g(x)垂直，求点P坐标；
(2)若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点．若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，E.
(ⅰ)求实数m2的取值范围；
(ⅱ)求|PA||PB||PD||PE|的最大值．
19.(本小题17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=n2+5n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=n⋅2n，求数列Sn+4anbn的前n项和Tn；
(3)设cn=1 an-2，求证：c1+c2+c3+…+cn>2 n-32.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为AB//BC，AB=(x,2)，BC=(2,1)
所以x=4，
所以AC=AB+BC=4,2+2,1=6,3，
|AC|= 62+32=3 5.
故选D.
2.【答案】A
【解析】解：∵A={x|x2-2x-8-1，
因为g(x)≥f(x)恒成立，
所以h(x)≥0恒成立，x>-1，且h(0)=0，
因为h'(x)=a-1x+1，
若a≤0，则h'(x)0⇒0