新高考数学二轮复习分层练习专题06 函数图像、方程与零点（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.
【详解】解：因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
故选：D．
2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】函数零点的个数即函数与函数的交点个数，结合图像分析．
【详解】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的交点个数．
作出函数与函数的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．
故选：C．
3．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案
【详解】解：根据题意，当时，，
当时，，
当时，，
所以只有A选项符合，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【答案】C
【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
5．（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先根据题意画出函数的简图，再分，两种情况讨论，结合图像解不等式即可
【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，
且，可画出函数简图如下图所示：
当时，，解得；
当时，，解得；
综上不等式的解集为: 或
故选：D
6．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））函数在的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】结合函数的对称性求得正确答案.
【详解】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
8．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为两个函数交点问题分析
【详解】即
分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点
所以，即
故选 ：C
二、多选题
9．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）关于函数，正确的说法是（ ）
A．有且仅有一个零点
B．在定义域内单调递减
C．的定义域为
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】将函数分离系数可得，数形结合，逐一分析即可；
【详解】解：，作出函数图象如图：
由图象可知，函数只有一个零点，定义域为，在和上单调递减，图象关于对称，故B错误，
故选：ACD．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．为减函数
C．有且只有一个零点D．的值域为
【答案】AC
【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.
【详解】,,
,
故为奇函数，
又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.
故选：AC
11．（2022·湖南省祁东县育贤中学高三阶段练习）如图是函数的部分图像，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
C．是函数的一条对称轴
D．若函数在上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【分析】先根据图像可得，即可判断A，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图像平移判断B，令解出即可判断C，令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D
【详解】由图像可知，
，即，故A正确

此时
又 在图像上， ，解得

将 的图像向右平移个单位后得到的图像对应的解析式为 不为奇函数，故B错误
，

当是函数的一条对称轴时，此时 不符合题意，故C错误
令 ，解得
当 时， ，不合题意
时， ；
时， ；
时，
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确
故选：AD
12．（2021·福建·福清西山学校高三阶段练习）已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【分析】转化为函数的图象与直线恰有两个交点，画出函数的图象，根据图象可得解.
【详解】因为函数恰有2个零点，
所以函数的图象与直线恰有两个交点，
画出函数的图象如图：
由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13．（2020·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高三阶段练习）若函数f(x)＝x2-ax-b的两个零点分别是是2和3，则函数g(x)＝bx2-ax-1的零点为____________.
【答案】
【详解】主要考查二次函数零点的性质及零点的确定方法．首先将2,3分别代入方程－ａｘ－ｂ=0，求得a,b，然后解方程ｂ－ａｘ－１=0，得到函数ｇ（ｘ）零点．
14．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数的一个零点为，则常数的一个取值为___________.
【答案】
【分析】根据零点的概念及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】因为函数的一个零点为，
所以，
即，
所以时，满足条件，是常数的一个取值.
故答案为：
15．（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）若方程的实根在区间上，则_______.
【答案】-2或1
【分析】依题意可得，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，结合函数图象即可判断方程的根所在区间，即可得解；
【详解】解：由于方程，显然，所以，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，
由图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根．
所以或
故答案为：或．
16．（2022·北京·北师大实验中学高三阶段练习）若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【详解】函数有两个零点，
和的图象有两个交点，
画出和的图象，如图，要有两个交点，那么
四、解答题
17．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数．
（1）在所给的坐标系内画出函数图像；
（2）求方程恰有三个不同实根时的实数的取值范围．
【答案】(1)图象见解析；(2).
【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察图象,根据的图象与的图象有三个交点确定m的范围.
【详解】(1)作图如下：
(2)方程有3个解等价于函数的图象与的图象有三个交点，
观察图象可得.
18．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，．
(1)在给出的平面直角坐标系中画出和的图象；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2).
【分析】（1）根据绝对值函数分区间去绝对值后变成分段函数，然后作图；
（2）由题可得，然后利用数形结合可得参数取值范围.
【详解】（1）由题意得：
，
，
画出和的图象如图所示.
（2）
∵，
由，可得或，
由，可得，
要使恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
19．（2020·内蒙古·巴彦淖尔市临河区第三中学高三阶段练习（理））已知函数，.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）考查了函数解析式的求解，需要采用换元法，设，表示出，再写出，最后换元成即可；（2）有实根，转化为，所以需要求函数的值域，再解不等式.
【详解】解：（1）设，因为，所以；
且，所以，
所以，；
（2）设，，，
所以当时函数有最小值，而，，
所以，所以，所以.
【点睛】本题主要考查的是换元法求函数的解析式，利用函数值域求参数范围的问题，需要注意：
（1）采用换元法求解函数解析式时，注意换元必换域，不要漏掉的范围；
（2）求解参数范围时需要转化为求解函数的最值问题，即求函数的值域，再利用的范围解不等式即可，需要注意定义域的限制.
20．（2022·山东省青岛第九中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间，
(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；
（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.
【详解】（1）由题可得，
由题意得，解得，
所以，
由得或，
由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为．
21．（2021·贵州·遵义一中高三阶段练习（理））已知函数．
（1）若函数在范围上存在零点，求的取值范围；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）参变分离转化为存在，使得成立，求导分析的单调性和取值范围，即得解；
（2）函数对称轴为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】（1）由题意，函数在范围上存在零点
即存在，使得成立
令，则
令（舍）
所以当时，；当时，
即在单调递增，在单调递减，又
即的取值范围是
（2），对称轴为
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上：
22．（2020·江苏省盱眙中学高三阶段练习）已知是偶函数．
（1）求的值；
（2）若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数的值；
（2）利用参变量分离法得出关于的方程有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本性质求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）是偶函数，，，
化简得，即，，，
即对任意的都成立，；
（2）由题意知，方程有解，
亦即，即有解，有解，
由，得，，故，即的取值范围是．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，涉及对数运算性质的应用，灵活利用参变量分离法能简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.
【提能力】
一、单选题
1．（2020·全国·高三专题练习（文））函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．（2019·全国·高三专题练习）如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】取的中点为，设，在直角三角形求出的表达式，根据弧长公式求出的表达式，再用表示，再根据解析式得答案.
【详解】取的中点为，设，
则，，
所以，即，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦函数的图象，考查弧长公式，其中表示出弦长和弧长的解析式是解题的关键，属于基础题.
3．（2008·四川·高考真题（理））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）
又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；
【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，
因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
5．（2021·全国·高三专题练习）如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由条件可知，的图象是由向左平移个单位长度得到，再利用数形结合，分析图象的临界条件，得到的取值范围.
【详解】当时，，图象过点和，即，
解得：，，即，
当时，设抛物线，代入点得，，即，
所以 ，
的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，
抛物线，，
与直线相切，即，解得：，，
切点代入得，
得，所以，解得：或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式恒成立，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合，分析临界条件，利用直线与抛物线相切，求参数的取值范围.
6．（2023·全国·高三专题练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小
【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】画出函数的草图，分析函数的值域及的解，由解的个数，可得答案
【详解】函数的图象如图所示，
由，得，
令，则，
当时，，得，
当时，，则，
所以当时，，由图象可知方程有两个实根，
当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，
所以函数的零点个数为3，
故选：C
8．（2020·全国·高三专题练习（理））已知定义在上的偶函数满足，且时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把函数g（x）f（x）﹣csπx的零点转化为两函数y＝f（x）与y＝csπx图象交点的横坐标，再由已知可得函数f（x）的对称轴与周期，作出函数y＝f（x）与y＝csπx的图象，数形结合得答案．
【详解】函数g（x）f（x）﹣csπx的零点，即方程f（x）﹣csπx＝0的根，
也就是两函数y＝f（x）与y＝csπx图象交点的横坐标．
由f（x）是定义在R上的偶函数，且
可得函数周期为2．
又当时，，
作出函数y＝f（x）与y＝csπx的图象如图：
由图可知，函数g（x）f（x）﹣csπx
在区间[﹣2，4]上的所有零点之和为﹣2+2+2＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
【答案】ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．函数的零点为
【答案】BCD
【分析】由解析式可得函数图象，由方程有四个不等实根可得到与有四个不同的交点，从而确定四个根的范围和的取值范围；
由可化简知A错误；由与关于直线对称知B正确；
根据与是方程的根，结合韦达定理和的取值范围可知C正确；
由可得或，由此可确定零点知D正确.
【详解】由解析式可得图象如下图所示：
若有四个不同的实数根，则与有四个不同的交点，
由图象可知：，；
对于A，，即，
，，，
整理可得：，A错误；
对于B，，与关于直线对称，，B正确；
对于C，与是方程的两根，
，又，，C正确；
对于D，，
由得：或，
的根为；的根为，
的零点为，D正确.
故选：BCD.
11．（2022·山东·日照国开中学高三阶段练习）已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．
C．函数的图象与函数的图象有且仅有个交点
D．当时，
【答案】ACD
【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由已知条件可得，
所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；
对于B选项，，，则，B选项错误；
对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示：
当时，，结合图象可知，.
当时，，即函数与函数在上的图象无交点，
由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；
对于D选项，当时，，则，
所以，，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
12．（2020·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x，g（x）＝x－4，则下列结论正确的是（ ）
A．若h（x）＝f（x）g（x），则函数h（x）的最小值为4
B．若h（x）＝f（x）|g（x）|，则函数h（x）的值域为R
C．若h（x）＝|f（x）|－|g（x）|，则函数h（x）有且仅有一个零点
D．若h（x）＝|f（x）|－|g（x）|，则|h（x）|≤4恒成立
【答案】BCD
【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.
【详解】对于A选项，，当时，函数的最小值为，所以A选项错误.
对于B选项，，画出图像如下图所示，由图可知，的值域为，故B选项正确.
对于C选项，，画出图像如下图所示，由图可知，有唯一零点，故C选项正确.
对于D选项，由C选项的分析，结合图像可知恒成立，故D选项正确.
故选：BCD
【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________
【答案】
【分析】作出函数的图象,将问题转化为函数与有4个不同的交点，由图示可得答案.
【详解】解：作出函数的图象如下图所示，令，则，
若函数恰有4个不同的零点，则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
14．（2020·上海·高三专题练习）已知函数f(x)＝lgax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n= .
【答案】2
【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值.
【详解】设函数y=lgax，m=﹣x+b
根据2＜a＜3＜b＜4，
对于函数y=lgax 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3