新高考数学二轮复习能力提升练习专题17等式与不等式综合问题（单选+填空）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，最小值.
故选：D.
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数满足成等差数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为成等差数列，
所以，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知正实数x，y满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法判断D.
【详解】取，则不成立，故A错误；
由，当时，，所以，
即，故B错误；
取时，，而，
所以，故C错误；
由ABC错误，排除法知，故D正确.
故选：D
6．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.
【详解】当时，，
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；
当时，.
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.
所以，的最小值为.
故选：A.
7．（2023·山东潍坊·校考一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
8．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若，且，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为16D．没有最小值
【答案】A
【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可
【详解】由，得.
因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
由得,
设函数，
则由，得在上至少一个零点，
此时，故存在，使得不等式中的等号成立，
故的最小值为.
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证
9．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．D．
【答案】C
【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.
【详解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立.
的最小值为.
故选：C.
10．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.
【详解】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故选：D
11．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
当时取等号，
所以，即，
解得，所以的最小值为.
故选：C．
二、填空题
12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值.
【详解】时，关于的不等式恒成立，
，由，则；由，则，即为的零点，
∴，.
∴，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
13．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.
14．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到与满足的关系式，将原式中的替换，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】曲线在点A处的切线可写作
设该切线在曲线上的切点为，
则有，消去t得
则
当且仅当，即时取得该最小值.
故答案为：.
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据不等式特征可通过构造函数，利用函数单调性解不等式可得，再根据基本不等式即可求得的最小值是.
【详解】由题意可得将不等式变形成；
又因为都是正数，所以；
可构造函数，易知函数为增函数，
由可得，
即，根据函数单调性可得，
则，
当且仅当，即取等号，
因此的最小值是.
故答案为：
16．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值是______.
【答案】9
【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
17．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.
【答案】##
【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以当，时，取最大值，
所以当取最大值时，，，，
所以，
所以当时，取最小值.
故答案为：.
18．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．
【答案】2
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
19．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________.
【答案】
【分析】先根据可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
两式相减得，
而，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即.
又，即，得，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
20．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，
【答案】
【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并结合即可求得，便可得出.
【详解】由可得，
由可得，，
所以
，
当且仅当时，等号成立；
即的最小值为；
，
所以，即；
当且仅当时，等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：
21．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式知，令，利用导数研究函数的单调性可知，进而可得，结合已知可得，由取等条件即可求解.
【详解】因为a，b都为正数，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
构造函数，，
求导，令，得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
可知在处取得最大值，故，即
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又，
所以，且，，
即，所以
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不等式，解题的关键是构造函数，，从而证得，再结合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题.
22．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.
【答案】
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
23．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】根据已知条件变形，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】
则
，当且仅当时，等号成立．
，
∴最小为，此时．
故答案为: .
24．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最大值为_____________．
【答案】2
【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.
【详解】由得，则
，
当且仅当时，此时，，或者，时等号成立，
所以的最大值为2．
故答案为：2.
25．（2023·重庆·统考一模）已知，则的最小值是___________.
【答案】4
【分析】把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值是4，
故答案为：.
26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知，且，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.
【详解】因为，所以，又，所以
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
27．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知两个正数满足，则的最大值为__________.
【答案】2
【分析】先通分得到等式，再通过配方法得到等式，最后通过基本不等式得到的取值范围即可得到答案.
【详解】由得.所以，即，当且仅当时取等号.
又，所以，所以，则的最大值为2.
故答案为：2.
28．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，
可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，即等号成立，
则的小值为.
故答案为：9.
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】设，令，要使恒成立，即恒成立. 求出最小值，令得到，再求出的取值范围即可.
【详解】设，令，
要使恒成立，即恒成立.
，
由可得，在上有一个解，
即，，
又，
，
因此当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
则，，
将代入，得，
设，，
令，解得.
因此当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
，即的取值范围是，
故的取值范围是.
故答案为：
30．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，所以，
故，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故答案为：.