新高考数学二轮复习常考题分类讲练导数解答题7大常考题型总结（2份，原卷版+解析版）

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题型一：导数中证明不等式问题
题型二：导数中的隐零点问题
题型三：导数中的零点问题
题型四：导数中的同构问题
题型五：导数中的极值点偏移问题
题型六：导数中的双变量问题
【题型总结】
题型一：导数中证明不等式问题
【例1】已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)讨论的单调性.
【例2】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【例3】已知函数.
(1)求该函数在点处的切线方程；
(2)证明：当时，.
【例4】已知函数有两个不同的零点x1，x2.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
【例5】已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【题型专练】
1．已知函数．
(1)若在上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当时，．
2．已知函数，．
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：．
3．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
4．已知函数.
(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；
(2)证明：.
5．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
6．设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，；
（Ⅲ）设，证明当时，.
题型二：导数中的隐零点问题
【例1】已知函数（）．
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，．
【例2】已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
【例3】已知函数.
(1)若，求在上的最大值与最小值之差；
(2)若，证明：
【例4】已知函数．
(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．
【例5】设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
【题型专练】
1.已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
2.已知函数，．
(1)判断函数的单调性；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
3.已知函数(为自然对数的底数，)．
(1)求的单调区间和极值；
(2)设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
4.已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率为 ．
(1)求实数的值;
(2)若 ，且存在使成立，求的最小值．
5.已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.
6.已知函数满足对任意的恒成立，其中e为自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
题型三：导数中的零点问题
【例1】已知函数．
(1)若函数存在零点，求实数m的取值范围．
(2)求证：当时，．
【例2】已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【例3】已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．
【例4】已知函数 ．
(1)证明：当时，为增函数；
(2)若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：， ．
【例5】设函数，其中．函数是函数的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；
(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．
【例6】已知函数，．
(1)当时，证明：；
(2)当时，判断零点的个数并说明理由．
【题型专练】
1．已知函数，．
(1)若直线与曲线相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．
2．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
3．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
4．已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
5．已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
6．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
7．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
8．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
9．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
题型四：导数中的同构问题
【例1】已知函数
(1)若是的一个极值点，求的最小值；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【例2】已知函数．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有．
【例3】已知函数，其中，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【题型专练】
1．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，且满足，求证：.
2．已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
3.已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
题型五：导数中的极值点偏移问题
【例1】设函数（）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.
【例2】已知函数（a为实数）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证．
(3)若有两个零点，，证明：．
【例3】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若有两个极值点，证明：．
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【例5】已知函数，的导函数为.
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.
【题型专练】
1．已知函数，．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若存在，，使得，则．
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是的两个不相等的零点，证明：.
3．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．
4.已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．
题型六：导数中的双变量问题
【例1】已知函数有两个极值点、.
(1)求的取值范围；
(2)若时，不等式恒成立，求的最小值.
【例2】已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.
【例3】已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(2)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
【题型专练】
1.已知函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．
2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.
3．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，函数，且，，，求的取值范围．
题型七：导数与数列不等式问题
【例1】已知函数，，．令，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【例2】已知函数在点处的切线方程为，且对任意的，恒成立．
(1)求a，b的值；
(2)求实数k的最小值；
(3)证明：．
【例3】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)设，，证明：．
【例4】已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设表示不超过x的最大整数，证明：，．
【例5】已知函数，．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；
(3)设时，证明：．
【题型专练】
1．已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
2．，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)证明对于任意正整数，都有.
3．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围；
(3)若，证明：．
4．已知函数．
(1)若恒成立，求实数a的取值集合；
(2)求证：对，都有．
5．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．