新高考数学二轮复习解析几何专项练习专题06 圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型（2份，原卷版+解析版）

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圆锥曲线的第三定义：
平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线,
其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。
圆锥曲线的第三定义的有关结论：
1.椭圆方程中有关的经典结论
(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
(3). 椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
(4). 椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
2.双曲线方程中有关的经典结论
(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有
(4) 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有
例1．（1）、（2021·全国）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2）、（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2021·吉林高三期末（文））已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
【变式训练1-2】、（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例2、如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
例3、（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率
之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
例4.（成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试）已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8.
求椭圆的方程；
（2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值
例5．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．
1．（2021·全国高三月考（理））设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（理））若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3B．6C．D．
4．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022·吉林吉林·高二期中）已知点，，为椭圆：上不重合的三点，且点，关于原点对称，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形内接于椭圆：（），且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）过原点的直线与椭圆：交于，两点，是椭圆上异于，的任一点.若直线，的斜率之积为，则椭圆的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
9.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.（四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12）设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11．（2022·全国高三专题练习）过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
12．（2022·全国高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．
13．(四川省蓉城名校高中2018届高三4月份联考)已知椭圆： 的长轴长为， ， 是其长轴顶点， 是椭圆上异于， 的动点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若动点在直线上，直线， 分别交椭圆于， 两点.请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
14.(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考）如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．
15．（2020·江苏扬州联考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值．
16．（2020·江苏省淮阴中学高三月考）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知､为椭圆上不同的两点．①设线段的中点为点，证明：直线､的斜率之积为定值；②若､两点满足，当的面积最大时，求的值．
17．（2021·绥德中学高二月考（理））设椭圆的离心率，过点A（1，）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.
①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
19．已知椭圆经过两点，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
20、已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，点A(1．eq \f(3,2))在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2，(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．
21、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B.已知|AB|＝4，且点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(3\r(5),4)))在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．