新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题04 幂指对函数（2份，原卷版+解析版）

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一、典例分析
【典例1】下列说法正确的有（ ）
A．若函数的图象经过点，则函数是偶函数
B．函数为奇函数
C．函数（且）的图象恒过定点
D．函数的递减区间是
【典例2】若，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知,则（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例详解】
【典例1】【分析】A.先求得幂函数，再利用奇偶性的定义判断；B.利用奇偶性的定义判断；C. 令求解判断；D.画出其图象判断.
【详解】解：A.因为函数的图象经过点，
所以，解得，所以，则其定义域为，
因为，所以函数是偶函数，故正确；
B.函数的定义域为R，又函数，所以为奇函数，故正确；
C.令，得，此时，所以（且）的图象恒过定点，故正确；
D.函数，其图象如图所示（判断出函数是偶函数，画的一边，另一边用对称性画出来即可！）
，由图象知：其递减区间是，故错误；故选：ABC.
【典例2】【分析】求出，则由对数的计算公式可判断A；求出可判断B；要判断，即判断，因为可判断C；由均值不等式可判断D.
【详解】由题意可得出，，（利用指对数的互化）
所以，故A正确；
，（基本不等式的应用）故D正确
，所以，故B不正确；
要判断，即判断，因为
所以，故C不正确；故选：AD.
解题小策略之假设法：在多项选择题中，我们可以假设该选项正确，经过分析得出一个与选项相悖的结论，从而排除该选项。本题C选项即是如此。
排除法应用：在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。本题AD正确，故BC必然错误！
【典例3】【分析】结合对数函数的单调性可判断的大小范围,结合的单调性可判断的取值范围,从而可判断选项A,B,C的正误;通过比较的大小,可判断出,即可判断选项D的正误.
【详解】解:因为在单调递增,所以,即,
因为在单调递增,
所以,,（利用中间值0，1比较大小）
综上:,故选项B错误,选项A、C正确;
因为,且,
即,所以,故选项D正确.故选:ACD
【典例4】【分析】考虑类似于的函数形式，因此构造函数，运用函数的单调性求解.
【详解】（观察题干形式，构造函数）设，则，令，则是减函数，
又，当时，，当时是减函数①，
，即，，
考察 （作商比较大小，观察构造函数）构造函数 ， ，由①及一次函数性质知，是减函数， ，即，，.故选：AB.
二、考点梳理
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.常见的幂函数图像及性质
3.指数的运算
(1)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
4.指数函数
5.对数的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；②(其中且，)；
③对数换底公式：；④；
⑤；⑥，；
⑦和； ⑧；
6.对数函数
三、专项突破训练
题型一：幂指对函数的图像与性质
1．（2023春·河南新乡·校考开学考试）下到说法正确的是（ ）.
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．图象关于点成中心对称
C．幂函数在上为减函数，则的值为
D．若，则的最大值是
2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点中心对称
3．（2023春·湖南长沙·雅礼中学校考阶段练习）设，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022秋·四川巴中·统考期末）已知函数，则（ ）
A．的图象关于y轴对称B．与的图象有唯一公共点
C．的解集为D．
5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
6．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域是B．有最大值
C．不等式的解集是D．在上单调递增
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数的性质的描述，正确的是（ ）
A．的定义域为B．有一个零点
C．的图像关于原点对称D．的值域为
题型二：指对数的运算
9．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围为
D．若，，则
12．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
14．（2023·全国·高三专题练习）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
15．（2023·全国·高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
16．（2022秋·河北唐山·高三校联考阶段练习）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y（元）的关系式为，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ）
A．B．
C．1等奖的面值为3130元D．3等奖的面值为130元
题型三：比较大小问题Ⅰ-利用中间值
17．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022秋·海南三亚·高三校考开学考试）下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知实数，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·全国·高三专题练习）下列大小关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型三：比较大小问题Ⅱ-构造函数
21．（2022秋·江苏泰州·高三统考期中）下列不等关系中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
四、答案速览
一、典例分析
二、考点梳理
三、专项突破训练
（1）幂指对函数的图像与性质（★）
（2）指对数的相关运算（★★★）
（3）比较大小问题（★★★★）
Ⅰ 利用中间值
Ⅱ 构造函数
四、答案速览
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
1．BCD
2．BC
3．BD
4．ABD
5．ABC
6．AB
7．BCD
8．AC
9．ACD
10．ACD
11．BD
12．ABD
13．AC
14．BD
15．ACD
16．ACD
17．BC
18．AC
19．AC
20．ABD
21．ABD
22．BC
23．AD
24．BCD
25．AC