2024-2025学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷 （含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
2．（2分）下列方程中，一元二次方程的是
A．B．
C．D．
3．（2分）下列命题的逆命题中，真命题的是
A．全等三角形的对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．关于某一条直线对称的两个三角形全等
D．对顶角相等
4．（2分）已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是
A．B．
C．D．
5．（2分）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是
A．2B．3C．4D．5.5
6．（2分）下列说法错误的是
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆
C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线
D．等腰△的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线
二、填空题（本大题12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）的平方根是 ．
8．（3分）关于的方程的解是 ．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知、，则 ．
10．（3分）函数的定义域为 ．
11．（3分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的值为 ．
12．（3分）在实数范围内分解因式： ．
13．（3分）平面直角坐标系中，点坐标为，，将点沿轴向左平移个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则的值为 ．
14．（3分）若三个点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ．
15．（3分）如图，在四边形中，，且，则的度数是 ．
16．（3分）如图，一根木杆在离地3米处折断，木杆的顶端落在离木杆端4米处，则木杆折断之前的高度为 米．
17．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，点、、在同一直线上，与交于点，若，则 ．
18．（3分）如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结，如果，则 ．
三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）已知与成反比例，且当时，，求关于的函数解析式．
21．（5分）已知：关于的一元二次方程．当为何值时，方程有两个实数根？
22．（5分）甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点．
（1）比赛中 的速度始终保持不变，为 千米小时；
（2） 先到达终点，时间相差 小时；
（3）比赛开始后 小时，他们第一次相遇．
四、解答题（本大题共4题，23题6分，24、25题每题8分，26题10分，满分32分）
23．（6分）如图，已知，是的中点，平分．求证：
（1）平分；
（2）．
24．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨元，每个月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定在什么范围时，每个月的利润不低于3000元？
25．（8分）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接．
（1）求的值．
（2）设与的重合部分的面积为，求关于的函数解析式．
（3）连接，当第（2）问中的值为1时，求的面积．
26．（10分）如图1，在△中，，，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．
（1）如图2，如果点与点重合，求证：；
（2）如图3，如果，求的长；
（3）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
解：、是最简二次根式，故此选项符合题意；
、，被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
2．（2分）下列方程中，一元二次方程的是
A．B．
C．D．
解：．未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
．方程整理得，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
．是一元二次方程，符合题意；
故选：．
3．（2分）下列命题的逆命题中，真命题的是
A．全等三角形的对应角相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．关于某一条直线对称的两个三角形全等
D．对顶角相等
解：、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，逆命题是一个三角形一边的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
、关于某一条直线对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某一条直线对称，是假命题，不符合题意；
、对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：．
4．（2分）已知函数中，在每个象限内，随的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是
A．B．
C．D．
解：函数中，在每个象限内，随的增大而增大，
，
双曲线在第二、四象限，
函数的图象经过第二、四象限，
故选：．
5．（2分）如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是
A．2B．3C．4D．5.5
解：过点作于，于，
的面积为9，，
，
是的平分线，
，
，
故选：．
6．（2分）下列说法错误的是
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆
C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线
D．等腰△的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线
解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，正确；
到点距离等于1 的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆，正确；
到直线距离等于2 的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，正确；
等腰△的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线的中点除外），错误，
故选：．
二、填空题（本大题12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）的平方根是 ．
解：由于，
所以的平方根是，
故答案为：．
8．（3分）关于的方程的解是 或 ．
解：，
，
或，
，．
故答案为：，．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知、，则 ．
解：、，
，
故答案为：．
10．（3分）函数的定义域为 ．
解：由题可得，，
解得，
函数的定义域为，
故答案为：．
11．（3分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的值为 ．
解：由题意得：，且，
解得：，
图象经过第二、四象限，
，
解得，
，
故答案为：．
12．（3分）在实数范围内分解因式： ．
解：原式
，
故答案为：，
13．（3分）平面直角坐标系中，点坐标为，，将点沿轴向左平移个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则的值为 ．
解：点坐标为，，
将点沿轴向左平移个单位后得到的点的坐标是，，
恰好落在正比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
14．（3分）若三个点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ．
解：，
函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
，，
点，位于第二象限，
，，
，
．
，
点位于第四象限，
，
．
故答案为：．
15．（3分）如图，在四边形中，，且，则的度数是 135 ．
解：，且，
，
，
，
，
，
．
16．（3分）如图，一根木杆在离地3米处折断，木杆的顶端落在离木杆端4米处，则木杆折断之前的高度为 8 米．
解：一竖直的木杆在离地面3米处折断，顶端落在地面离木杆底端4米处，
折断的部分长为（米，
折断前高度为（米．
故答案为：8．
17．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，点、、在同一直线上，与交于点，若，则 ．
解：由题意知，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
18．（3分）如图，在中，，，斜边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结，如果，则 4 ．
解：连接，
是的垂直平分线，
，，
，
，
是的中点，
，
中，，
，
．
故答案为：4．
三、简答题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
19．（5分）计算：．
解：原式
．
20．（5分）已知与成反比例，且当时，，求关于的函数解析式．
解：依题意可设，
当时，，
，
，
函数解析式为．
答：关于的函数解析式是．
21．（5分）已知：关于的一元二次方程．当为何值时，方程有两个实数根？
解：方程有两个实数根，△；
；
；
又方程是一元二次方程，；
解得；
当且时方程有两个实数根．
22．（5分）甲、乙两队参加赛龙舟比赛，上午9时同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点．
（1）比赛中 乙队 的速度始终保持不变，为 千米小时；
（2） 先到达终点，时间相差 小时；
（3）比赛开始后 小时，他们第一次相遇．
解：（1）比赛中乙队的速度始终保持不变，为（千米时）．
故答案为：乙队，16．
（2）由图象可知，乙队先到达终点，时间相差（小时）．
故答案为：乙队，．
（3）设段的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
段的函数关系式为；
段的函数关系式为；
他们第一次相遇时，得，
解得．
故答案为：．
四、解答题（本大题共4题，23题6分，24、25题每题8分，26题10分，满分32分）
23．（6分）如图，已知，是的中点，平分．求证：
（1）平分；
（2）．
【解答】（1）平分．
证明：过点作，垂足为，
平分，
，
，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）．
证明：，
，，
（垂直于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）
又，（角平分线定义）
，
，
度．即．
24．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨元，每个月销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定在什么范围时，每个月的利润不低于3000元？
解：（1）由题意可得，
，
即与的函数关系式是；
（2），
当时，取得最大值，此时，，
答：每件商品售价定为65元时，每个月获得最大利润，最大的月利润是3125元；
（3）由题意可得，
，
解得，，
售价定为的范围时，每个月的利润不低于3000元．
25．（8分）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接．
（1）求的值．
（2）设与的重合部分的面积为，求关于的函数解析式．
（3）连接，当第（2）问中的值为1时，求的面积．
解：（1）设点的坐标为；
由题意得：，解得：，
即的值．
（2）如图，设点的坐标为．
则，即；而，
，
即关于的函数解析式是．
（3）当时，，解得或（舍去），
点在函数的图象上，
；由（1）知：
，；；
，
，
；
．
26．（10分）如图1，在△中，，，，是的中点是射线上一个动点，联结，过点作的垂线，交射线于．
（1）如图2，如果点与点重合，求证：；
（2）如图3，如果，求的长；
（3）设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
【解答】（1）证明：，，，
，，，
是的中点，，
，
△是等边三角形，
，
，
，
，
点与点重合，
；
（2）解：如图，过点作于，
△是等边三角形，
，
，
，
，
，，，
；
（3）①当时，
如图，过点作于，
，，
，，
，
；
②当时，同理可得；
综上，．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
B
B
A
D