2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一）（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足zi=3+2i，则复数z(1−i)的虚部为( )
A. −5B. −5iC. −3D. −3i
2.已知{a,b,c}为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. a+b，b+c，a−c
B. a+2b，b，a−c
C. 2a+b，b+2c，a+b+c
D. a+c，b+2a，b−2c
3.某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：67ㅤ57ㅤ37ㅤ40ㅤ46ㅤ62ㅤ81ㅤ47ㅤ31ㅤ30，则这组数据的( )
A. 众数是30B. 10%分位数是30.5
C. 极差是37D. 中位数是43
4.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a−2)y+a=0，则“a=3”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(1,1,2)，则点D到平面ABC的距离为( )
A. 3B. 2C. 52D. 63
6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得y= x2−2x+5+ x2−6x+25的最小值为( )
A. 2 10B. 2 2C. 2+ 10D. 3+ 5
7.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是( )
A. 19B. 29C. 13D. 23
8.过定点M的直线ax+y−1=0与过定点N的直线x−ay+2a−1=0交于点P，则|PM|·|PN|的最大值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
B. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 两人均获得满分的概率12B. 两人至少一人获得满分的概率712
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率14D. 两人至多一人获得满分的概率12
11.扎马钉(图1)，是古代军事战争中的一种暗器．如图2所示，四个钉尖分别记作A、B、C、D，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，设OA=1，则下列结论正确的是( )
A. AB⊥CDB. O为正四面体ABCD的中心
C. BC=1D. 四面体ABCD的外接球表面积为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则AC1的长为______．
13.将一张坐标纸对折，如果点(0,m)与点(m−2,2)重合，则点(−4,1)与点______重合．
14.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生(男女生人数之比为3：2)中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，PA=BC=2AD=2AB=4，AD⊥平面PAB，PA⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．
(1)证明：DF/​/平面ACE．
(2)求平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值．
16.(本小题15分)
为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]．
(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)的人数；
(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
(3)若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
17.(本小题15分)
已知顶点P(−1,2)，直线l1：4x+y+3=0和l2：3x−5y−5=0．
(1)过点P作l1的垂线PH，求垂足H的坐标；
(2)过点P作直线l分别于l1、l2交于点A、B，若P恰为AB的中点，求直线l的一般式方程．
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=axx2+b(a>0,b>1)满足f(1)=1，且f(x)在R上有最大值3 24．
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，不等式f(x)≤3m(x2+2)|x−m|恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=120°．
(1)若a=2b，求tanA的值；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1，求△ABC周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵复数z满足zi=3+2i，
∴z=3+2ii=(3+2i)ii2=2−3i，
∴z(1−i)=(2−3i)(1−i)=−1−5i，即其虚部为−5．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题．
根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】
解：∵a+b=(b+c)+(a−c)，a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c)，a+c=12(b+2a)−12(b−2c)，
∴A，C，D中的向量共面，不能作为空间的基底，
对于B，假设a+2b，b，a−c共面，
则存在λ，μ使得a+2b=λb+μ(a−c)，
∴μ=1λ=2−μ=0，无解，
∴a+2b，b，a−c不共面，可以作为空间的一组基底．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误；
将这10个数据从小到大排列为30，31，37，40，46，47，57，62，67，81；
易知10×10%=1为整数，所以10%分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为30+312=30.5，即B正确；
易知其极差为81−30=51，即可得C错误；
中位数为第5个数和第6个数的平均数，即46+472=46.5，可得D错误．
故选：B．
由众数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确．
本题主要考查统计的知识，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a−2)y+a=0，l1//l2，
则a(a−2)=3，解得a=3或−1，
当a=3时，两直线不重合，符合题意，
当a=−1时，两直线重合，不符合题意，舍去，
故a=3，
故“a=3”是“l1//l2”的充要条件．
故选：C．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：在空间直角坐标系−xyz中，
A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(1,1,2)，
∴AD=(0,1,2)，AB=(−1,1,0)，AC=(−1,0,1)，
设平面ABC的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅AB=−x+y=0n⋅AC=−x+z=0，取z=1，可得n=(1,1,1)，
∴D到平面ABC的距离为d=|n⋅AD||n|=3 3= 3．
故选：A．
求出平面ABC的法向量，再由向量法求解D到平面ABC的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：y= (x−1)2+(0−2)2+ (x−3)2+(0+4)2，
则y可看作x轴上一点P(x,0)到点A(1,2)与点B(3,−4)的距离之和，即|PA|+PB|，
则可知当A，P，B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，
即(|PA|+|PB|)min=|AB|= (1−3)2+(2+4)2=2 10．
故选：A．
y= (x−1)2+(0−2)2+ (x−3)2+(0+4)2，表示平面上点P(x,0)与点A(1,2)与点B(3,−4)的距离和，利用两点间的距离公式求解．
本题考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是39=13．
故选：C．
画出树状图，利用概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，涉及基本不等式求最值，属中档题．
由题意可得M(0,1)，N(1,2)，且两直线始终垂直，可得|PM|2+|PN|2=|MN|2=2.由基本不等式可得|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22，验证等号成立即可．
【解答】
解：由题意可知，动直线ax+y−1=0经过定点M(0,1)，
动直线x−ay+2a−1=0即x−1+(−y+2)a=0，经过点定点N(1,2)，
∵过定点M的直线ax+y−1=0与过定点N的直线x−ay+2a−1=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴有PM⊥PN，
∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=2．
故|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22=1(当且仅当|PM|=|PN|=1时取“=”)
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线xsinα+y+2=0，其斜率k=−sinα，易得−1≤k≤1，则由−1≤tanθ≤1，而0≤θ<π，则θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)，A正确；
对于B，若a=−1时，直线a2x−y+1=0即x−y+1=0，直线x−ay−2=0即直线x+y−2=0，两直线垂直，
反之，若直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直，则有a2+a=0，解可得a=0或−1，
故“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充分不必要条件，B错误；
对于C，由空间向量基本定理，这两个非零向量一定共线，C正确；
对于D，已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b=9+8−89b=(1,2,2)，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由直线斜率和倾斜角的关系分析A，由直线垂直的判断方法分析B，由空间向量基本定理分析C，由投影向量的计算公式分析D，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及直线的倾斜角、充分必要条件和投影向量的计算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，
对于A，两人均获得满分的概率为P=34×23=12，故A正确；
对于B，两人至少一人获得满分的概率为P=34+23−34×23=1112，故B错误；
对于C，两人恰好只有甲获得满分的概率为P=34×(1−23)=14，故C正确；
对于D，两人至多一人获得满分的概率为P=1−34×23=12，故D正确．
故选：ACD．
对于A，利用相互独立事件概率乘法公式求解；对于B，利用和事件概率计算公式求解；对于C，利用相互独立事件概率乘法公式求解；对于D，利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、和事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查立体几何的实际应用，球与多面体的切接问题，空间中的垂直关系等知识，属于中等题．
容易判断B；将图形还原成正四面体，取CD中点F，进而证明CD⊥平面ABF，然后判断A；设E为A在平面BCD上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C；根据球的表面积公式可以判断D．
【解答】解：如图，正四面体ABCD，由题意，OA=OB=OC=OD=1，则O为正四面体ABCD的中心，B正确；
设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，
连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则BF⊥CD，AF⊥CD，
而BF⋂AF=F，所以CD⊥平面ABF，所以AB⊥CD，A正确；
设该正四面体棱长为a，则BE=23BF=23× 32a= 33a，
因为OE2=OB2−BE2=1−a23，AE2=(1+OE)2=AB2−BE2=a2−a23=23a2，
联立解得a=2 63，C错误；
易知该四面体外接球半径为OA=1，则外接球的表面积为4π．
故选AB．
12.【答案】 17
【解析】解：∵AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，
∴|AC1|2=(AB+AD+AA1)2
=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+2AB⋅AA1+2AD⋅AA1
=1+1+9+2×0+2×1×3×12+2×1×3×12
=17，
∴|AC1|= 17．
故答案为： 17．
由AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，借助模长公式能求出AC1的长．
本题考查线段长的求法，考查空间向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】(−1,−2)
【解析】解：将一张坐标纸对折一次，已知点点(0,m)与点(m−2,2)重合，
则折线经过点(m−22,m+22)，且斜率为−1m−22−m=1，故折线的方程为y−m+22=x−m−22，即x−y+2=0．
则与点(−4,1)重合的点的坐标是M(a,b)，则由b−1a+4=−1a−42−b+12+2=0，
解得a=−1，b=−2，
即M(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
先利用点斜式求出折线的方程，再利用“垂直、中点在轴上”这两个条件求得与点(−4,1)重合的点的坐标．
本题主要考查求一个点关于某条直线的对称点的点的坐标的方法，利用了“垂直、中点在轴上”这两个条件，属于中档题．
14.【答案】236
【解析】解：根据题意，由于男女生人数之比为3：2，则样本中男女生人数之比为3：2，
其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179，
则样本的平均数x−=35×175+25×160=169，
样本的方差S2=35×[184+(175−169)2]+25×[179+(160−169)2]=236，
用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为236．
故答案为：236．
根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案．
本题考查总体平均数、方差的计算，涉及分层抽样的计算，属于基础题．
15.【答案】解：(1)证明：因为E，F分别为PB，PC的中点，
所以EF/​/BC，EF=12BC，
又因为AD//BC，
所以EF/​/AD，
又BC=2AD=4，
所以BC=4，AD=2，
所以AD=12BC，
所以EF=AD，
所以四边形ADFE为平行四边形，
所以DF/​/AE，
又AE⊂面ACE，DF⊄面ACE，
所以DF/​/面ACE．
(2)以A为原点，AB，PA，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系：

则A(0,0,0)，B(−2,0,0)，C(−2,0,4)，P(0,−4,0)，E(−1,−2,0)，F(−1,−2,2)，
平面PAD的法向量为AB=(−2,0,0)，
又AC=(−2,0,4)，AE=(−1,−2,0)，
设面AEC的法向量m=(x,y,z)，
所以AC⋅m=−2x+4z=0AE⋅m=−x−2y=0，
令y=1，则x=−2，z=−1，
所以面AEC的法向量m=(−2,1,−1)，
设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，
csθ=cs=m⋅AB|m||AB|=(−2,1,−1)⋅(−2,0,0) (−2)2+12+(−1)2⋅2= 63，
所以sinθ= 1−cs2θ= 1−( 63)2= 33，
所以平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值为 33．
【解析】(1)根据题意可得四边形ADFE为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可得出证明．
(2)以A为原点，AB，PA，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，根据题意可得平面PAD的法向量为AB=(−2,0,0)，求出面AEC的法向量m=(x,y,z)，设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，则csθ=cs=m⋅AB|m||AB|，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由直方图知：(0.14+x)×5=1，可得x=0.06，
所以500名志愿者中年龄在[35,40)的人数为0.06×5×500=150人；
(2)因为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6<0.75，(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9>0.75，
所以第75百分位数在[35,40)区间内，若该数为a，
所以0.6+0.06×(a−35)=0.75，
解得a=37.5；
(3)由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为2：3：1，知6名志愿者有2名来自[25,30)，3名来自[35,40)，1名来自[40,45)，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为a1，a2，b1，b2，b3，c，
则抽取两人的基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,c)，(b2,b3)，(b2,c)，(b3,c)，共15个，
所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率P=415．
【解析】(1)由直方图频率和为1，列方程求x，再根据直方图求500名志愿者中年龄在[35,40)的人数；
(2)由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数；
(3)由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于过点P作l1的垂线PH，所以直线PH的方程为y−2=14(x+1)，整理得x−4y+9=0；
所以x−4y+9=0 4x+y+3=0 ，解得x=−2117 y=3317 ，即H(−2117,3317).
(2)直线l与已知直线l1：4x+y+3=0和l2：3x−5y−5=0分别交于A和B，
由于点A在直线4x+y+3=0上，
故可设A(t,−4t−3)，由于点P(−1,2)为A和B的中点，
所以B(−t−2,4t+7)；
由于点B在直线3x−5y−5=0上，故3(−t−2)−5(4t+7)−5=0；
解得t=−2；
故A(−2,5)，B(0,−1)．
由点A和B的坐标求出直线l的方程为3x+y+1=0．
【解析】(1)首先利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步求出直线的方程，最后利用二元一次方程组的解法求出点H的坐标；
(2)利用代入法的应用和中点的坐标公式的应用求出A和B的坐标，进一步确定直线l的方程．
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，点斜式的直线方程的求法，二元一次方程组的解法，中点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=axx2+b(a>0,b>1)，满足：f(1)=1，
∴f(1)=a1+b=1，即a=1+b，①
f(x)=ax+bx≤a2 x⋅bx=a2 b，
∵f(x)在R上有最大值3 24．
∴a2 b=3 24.即2a=3 2b ②，
由①②得a=3，b=2；
(2)由(1)得f(x)的解析式f(x)=3xx2+2，
由题意得当x∈[1,2]，则只有当m>2或m<1时，f(x)≤3m(x2+2)|x−m|才有意义，
①当m<1时，3xx2+2≤3m(x2+2)|x−m|，等价为x(x−m)−m≤0，
等价为φ(x)=x2−mx−m的最大值φ(x)max≤0，
即φ(x)max=φ(2)=4−3m≤0，得m≥43，(舍去)．
②当m>2时，由f(x)≤3m(x2+2)|x−m|得3xx2+2≤3m(x2+2)|x−m|，
即x(m−x)−m≤0，
设φ(x)=−x2+mx−m，
当2当m>4时，φ(x)max=φ(2)=−4+m≤0，得m≤4(舍)，
综上，m的取值范围为(2,4]．
【解析】(1)根据条件建立方程和不等式关系即可求f(x)的解析式；
(2)求出f(x)的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件建立方程关系求出函数的解析式，利用参数分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．
19.【答案】解：(1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=120°．
若a=2b，
所以sinA=2sinB，整理得：sinA=2sin(180°−120°−A)，
整理得：sinA=2× 32csA−2×12sinA，
解得tanA= 32．
(2)∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1，
利用三角形的面积：12absin120°+12a×|CD|sin60°+12b×|CD|sin60°
所以 34ab= 34a+ 34b，
整理得1a+1b=1，
所以a+b=(a+b)(1a+1b)=1+ba+ab+1≥2+2=4，
当且仅当a=b=2时，等号成立．
所以c2=a2+b2−2abcs120°，解得c=2 3，
所以△ABC周长的最小值为2+2+2 3=4+2 3．
【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
(2)利用三角形的面积和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出结果
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．