2024-2025学年四川省自贡市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省自贡市高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l1：3x+4y+10=0，l2：3x+4y−5=0两直线之间的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知x2+y2=1，则3x+4y的最大值( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1,AB+AD+CC1=( )
A. .CAB. ACC. AC1D. C1A
4.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，3a2+S6=2025，则a3=( )
A. 224B. 225C. 2024D. 2025
5.已知平面内两定点A(−9,0)，B(−1,0)，动点P(x,y)满足|PA|=3|PB|，△ABP面积的最大值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
6.已知椭圆C：x216+y212=1，过点P(1,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为( )
A. −34B. −43C. −35D. −53
7.已知{an}为各项均为正数的等比数列，Tn为其前n项积，a2=632,a4=638，当Tn取得最大值时，n为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且|PF1+PO|=|PF1−PO|,|PF1|,|PO|,|F1O|成等差数列，则C的离心率为( )
A. 53B. 54C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数y=1x的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是( )
A. 焦距长为2 2B. 实轴长为2 2C. 对称轴为y=±xD. 离心率为2
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A. 异面直线A1B与AD1所成的角为π3B. 直线AC1与底面ABCD所成的角为π4
C. 直线AC与BD1垂直D. 二面角C1−AB−D大小为π4
11.已知椭圆x212+y28=1,F1,F2为左，右焦点.O为原点，P为椭圆上一点，cs∠F1PF2=35，下列说法正确的是( )
A. 满足条件的P点总共有4个B. S△F1PF2=4
C. |PO|=3D. PF1⋅PF2=6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线x23−y2=1的两条渐近线所成的锐角为______．
13.已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0恒过定点A，则定点A坐标______．
14.在四面体ABCD中，且∠BAD=∠ABC=π2,AB= 3，AD=BC=1，CD= 6，则四面体ABCD外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点B(−2,0)，AB边上的高所在的直线方程为x+3y−26=0．
(1)求直线AB的方程；
(2)若BC边上的中线所在的直线方程为y=3，求直线AC的方程．
16.(本小题15分)
已知数列{an}，Sn为其前n项和，Sn=12n2+12n,(n∈N∗,n≥1)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1,(a>b>0)，长轴长为4，离心率为 32．
(1)求椭圆C方程；
(2)过点P(12,12)倾斜角为34π的直线l与椭圆C相交于M、N，求|MN|．
18.(本小题17分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.
(1)求证：A1C⊥EF；
(2)当AD=3，AB=4，AA1=5时．
(i)求A1到平面AEF的距离；
(ii)求平面AEF与平面A1BD的夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线x=my+n与抛物线C交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且|y1−y2|=a(a>0)，且a为常数，我们把AB叫做抛物线C的弦，若M是弦AB中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD，求证：△ABD的面积为定值；
(3)在(2)的条件下，再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E、F，得到△ADE和△BDF，按此方法继续下去，若设a1=S△ABD，a2=S△ADE+S△BDF，…，an是第n次操作时得到的2n−1个三角形面积的和，记Sn=a1+a2+⋯+an，试比较Sn与a324大小并说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.A
7.D
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.60°
13.(1,−2)
14.6π
15.解：(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x+3y−26=0，可得斜率为−13，
可得直线AB的斜率k=3，又因为△ABC的顶点B(−2,0)，
所以直线AB的方程为y=3(x+2)，即3x−y+6=0；
所以直线AB的方程为3x−y+6=0．
(2)直线BC边上的中线所在的直线方程为y=3，
由方程组y=3y=3x+6，解得x=−1y=3，所以点A(−1,3)，
设点C(x1,y1)，则BC的中点在直线y=3上，所以y1+02=3，即y1=6，
又点C(x1,6)在直线x+3y−26=0上，x1+3×6−26=0，解得x1=8，所以C(8,6)，
所以AC的斜率kAC=6−38+1=13，所以直线AC的方程为y−6=13(x−8)，
即直线AC的方程为x−3y+10=0．
16.解：(1)数列{an}，Sn为其前n项和，Sn=12n2+12n,(n∈N∗,n≥1)，
可得n=1时，a1=S1=12×12+12×1=1，
当n≥2时，
an=Sₙ−Sn−1=12n2+12n−[12(n−1)2+12(n−1)]=n，
上式对n=1也成立，
所以an=n，n∈N∗；
(2)bn=an2n=n2n，
数列{bₙ}的前n项和Tn=12+222+323+⋯+n2n，
12Tn=122+223+324+⋯+n2n+1，
相减可得12Tn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1
=1−12n−n2n+1，
则Tn=2−n+22n．
17.解：(1)由题意可得2a=4ca= 32a2=b2+c2，解得a=2b=1，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)因为直线l过点P(12,12)，倾斜角为34π，
则直线l的方程为y−12=−(x−12)，即y=−x+1，
联立y=−x+1x24+y2=1，化简得5x2−8x=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=85,x1x2=0，
所以|MN|= 1+(−1)2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 2⋅ (85)2−4×0=8 25．
18.解：(1)证明：∵BC⊥平面ABB1A1，且AE⊂平面ABB1A1，
∴BC⊥AE，∵AE⊥A1B，A1B∩BC=B，
∴AE⊥平面A1BC，∵A1C⊂平面A1BC，∴A1C⊥AE，
∵AF⊥A1D，A1D∩CD=D，∴AF⊥平面A1DC，
∵A1C⊂平面A1DC，∴A1C⊥AF，
∵AE∩AF=A，∴A1C⊥平面AEF，
∵EF⊂平面AEF，∴A1C⊥EF；
(2)当AD=3，AB=4，AA1=5时．
(i)以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,3,0)，
C(4,3,0)，A1(0,0,5)，B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，C1(4,3,5)，
设E(4,0,k1)，F(0,3,k2)，则AE=(4,0,k1)，A1B=(4,0,−5)，
AF=(0,3,k2)，A1D=(0,3,−5)，
∵AE⊥A1B，AF⊥A1D，
∴AE⋅A1B=16−5k1=0，解得k1=165，
AF⋅A1D=9−5k2=0，解得k2=95，
∴E(4,0,165)，F(0,3,95)，
∴AE=(4,0,165)，AF=(0,3,95)，
设平面AEF的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅AE=4a+165c=0m⋅AF=3b+95c=0，取a=4，得m=(4,3,−5)，
A1A=(0,0,−5)，
∴A1到平面AEF的距离为d=|A1A⋅m||m|=255 2=5 22；
(ii)DB=(4,−3,0)，A1B=(4,0,−5)，
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DB=4x−3y=0n⋅A1B=4x−5z=0，取x=3，得n=(3,4,125)，
设平面AEF与平面A1BD的夹角为θ，
则平面AEF与平面A1BD的夹角的余弦值为：
csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=12+12−12 50⋅ 76925=12 1538=6 1538769．
∴平面AEF与平面A1BD的夹角的余弦值为6 1538769．
19.解：(1)根据题意得4+p2=5，解得p=2.因此抛物线方程为y2=4x．
(2)如果x1=x2，所以AB垂直于x轴，设y1>y2，根据y1−y2=a，
又根据抛物线对称性可得y1=a2，
又因为y12=4x1，得x1=a216，所以S△ABD=a332．
如果x1≠x2，设AB方程：y=kx+b，根据方程组y=kx+by2=4x,
化简得ky2−4y+4b=0(∗)，根据题意可知，k≠0.根据韦达定理可得y1+y2=4k,y1y2=4bk．
根据|y1−y2|=a，可得(y1+y2)2−4y1y2=a2，即16k2−16bk=a2，整理得16−16kb=a2k2．
因此a2k2=16(1−kb).AB中点M(2−bkk2,2k)，因此点D(1k2,2k).
根据题意知S△ABD=12|DM||y1−y2|=12×|1−bkk2|×a．
又由于方程(∗)根的判别式Δ=16−16kb>0，得1−kb>0.因此S△ABD=12×1−bkk2×a，
又1−bk=a2k216，因此S△ABD=12×a216×a=a332．
又因为a为常数，所以S△ABD的面积为定值．
(3)依题意得a1=a332,a2=(a2)332×2,a3=(a4)332×4,⋯,an=(a2n−1)3×2n−132．
故Sn=a332×[1+14+116+⋯+122n−2]=a332⋅1−(14)n1−14=a324[1−(14)n]