2024-2025学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知{an}为等差数列，a2=3，a6=11，则a4等于( )
A. 7B. 6C. 475D. 315
2.已知空间向量a=(2,−3,0)，b=(m,2,−1)，若a⊥b，则实数m等于( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
3.已知点A(−3,4)，B(2,2)，直线y=kx−2与直线AB平行，则实数k等于( )
A. 25B. −25C. 52D. −52
4.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是( )
A. x225+y29=1B. x225+y216=1C. x25+y29=1D. x24+y2=1
5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列式子中与MB1相等的是( )
A. 12a−12b+c
B. 12a+12b−c
C. −12a+12b+c
D. −12a−12b+c
6.已知空间向量a=(3,0,4)，b=(1, 3,0)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 32(1, 3,0)B. 34(1, 3,0)C. 325(3,0,4)D. 35(3,0,4)
7.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P(a,b)与圆的位置关系是( )
A. 点P在圆上B. 点P在圆外C. 点P在圆内D. 以上都有可能
8.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内(含边界)移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为( )
A. π2
B. 2
C. 1
D. π4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C：x2+y2−4x−6y−3=0，直线l：ax−y−a−1=0(其中a为参数)，则下列选项正确的是( )
A. 圆心坐标为(2,3)B. 若直线l与圆C相交，弦长最大值为12
C. 直线l过定点(0,−a−1)D. 当a=−815时，直线l与圆C相切
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=k⋅2n−1，k∈R，则下列选项正确的是( )
A. 数列{an}的首项不可能为0B. 当k≠0时，{an}偶数项的符号相同
C. 当k=1时，{an}一定是等比数列D. 当k≠1时，{an}有可能是等比数列
11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=1时，△AB1P的周长为定值
B. 当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C. 当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D. 当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l，交抛物线于点A，若点A的横坐标为3，则|AF|等于______．
13.在空间直角坐标系中，已知向量a=( 3,1,0)和向量b=(x,y,z)，如果〈a,b〉=π3，则向量b的坐标可以是：______.(注：写出一个具体的坐标即可)
14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是______，五边形数所构成的数列{an}的通项公式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆x2+y2=8内有一点P0(−1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．
(1)当α=3π4时，求|AB|的长；
(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
16.(本小题15分)
设数列{an}满足a1+3a2+⋯+(2n−1)an=n．
(1)证明；数列{1an}为等差数列；
(2)求数列{an2n+1}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角(如图所示).依据此物理定律，解决以下问题．
已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，直线l：y=kx+2与抛物线C相切于点P．
(1)求直线l的方程；
(2)从点F发出的光线经过抛物线上的点P反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴．
18.(本小题17分)
如图，正四棱锥P−ABCD的底面边长和高均为2，E、F分别是PD和PB的中点．
(1)证明：EF⊥PC；
(2)若点M满足PM=λPC，且点M在平面AEF内，求λ的值；
(3)求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
通过研究，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcsθ−ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．
(1)已知平面内点A(− 3,2 3)，点B( 3,−2 3)，把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P，求点P的坐标；
(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转π4所得的斜椭圆C．
(i)求斜椭圆C的离心率；
(ⅱ)过点Q( 23, 23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l2交斜椭圆C于点G、H，判断 2|MN|+1|OH|2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.AD
10.BC
11.BD
12.4
13.(0,1,0)(答案不唯一)
14.25 an=n×(3n−1)2
15.解：(1)当α=34π时，直线AB的方程为y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，
设圆心到直线AB的距离为d，则d=−1 2= 22，
∴|AB|=2 r2−d2= 30．
(2)当弦AB被点P0平分时，OP0⊥AB，
∵kOP0=−2，
∴kAB=12，
∴直线AB的方程为y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．
16.(1)证明：由a1+3a2+⋯+(2n−1)an=n，①
得a1=1，
当n≥2时，a1+3a2+⋯+(2n−3)an−1=n−1，②
①−②得：(2n−1)an=1，则1an=2n−1，
∵1an+1−1an=2(n+1)−1−2n+1=2，
∴数列{1an}是公差为2的等差数列；
(2)解：∵an2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴数列{an2n+1}的前n项和Sn=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
17.解：(1)联立y=kx+2y2=4x，可得k2x2+4(k−1)x+4=0，
令Δ=16(k−1)2−16k2=0，可得k=12，
∴直线l的方程为y=12x+2，即x−2y+4=0；
(2)证明：由(1)可得P为(4,4)，
∴法线(过P且垂直直线l)的方程为y−4=−2(x−4)，
令y=0，可得法线与x轴的交点为A(6,0)，又F(1,0)，
∴|FP|=p2+xP=1+4=5，|FA|=5，
∴|FP|=|FA|，设反射光线为PT，
∴∠FAP=∠FPA=TPA，
∴反射光线平行于x轴，
即反射光线平行于抛物线的对称轴．
18.(1)证明：连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
所以以O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A( 2,0,0),B(0, 2,0)，P(0,0,2)，C(− 2,0,0)，D(0,− 2,0),E(0,− 22,1)，F(0, 22,1)，
则EF=(0, 2,0)，PC=(− 2,0,−2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC．
(2)解：由(1)得AP=(− 2,0,2)，PM=λPC=(− 2λ,0,−2λ)，
因此AM=AP+PM=(− 2− 2λ,0,2−2λ)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=0n⋅AF=0，得− 2x− 22y+z=0− 2x+ 22y+z=0，
令x=1，则z= 2，y=0，所以n=(1,0, 2)，
由于点M在平面AEF内，则AM⊥n，则AM⋅n=0，
即− 2− 2λ+ 2(2−2λ)=0，
解得λ=13．
(3)PB=(0, 2,−2)，
由(2)可得平面AEF的法向量n=(1,0, 2)，
所以cs=PB⋅n|PB|⋅|n|=−2 2 6⋅ 3=−23，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．
19.解：(1)由已知得AB=(2 3,−4 3)，
所以AP=(6+ 3,3−2 3)，
不妨设P(x0,y0)，
此时AP=(x0+ 3,y0−2 3)=(6+ 3,3−2 3)，
解得x0=6，y0=3，
则点P的坐标为(6,3)；
(2)(i)联立直线y=x与x2+y2−xy=1，
解得直线与椭圆交点为(1,1)和(−1,−1)，则a2=2，
由y=−x与x2+y2−xy=1交点为(− 33, 33)和( 33,− 33)，
则b2=23．
所以c2=43，e=2 33 2= 63．
(ii)设直线l1：y− 2 3=k(x− 2 3)，
与斜椭圆x2+y2−xy=1联立得：(k2−k+1)x2+ 2 3(3k−2k2−1)x+23(1−k)2−1=0，
∵x1+x2= 2 32k2−3k+1k2−k+1，x1x2=23k2−2k−12k2−k+1，
∴|MN|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]= (1+k2)[( 2 32k2−3k+1k2−k+1)2−4×23k2⋅2k−12k2−k+1]= 2(1+k2)k2−k+1，
设直线l2：y=−1kx，与斜椭圆x2+y2−xy=1联立得x2+1k2x2+1kx2=1，
∴x2=k2k2+k+1，∴|OH|2=k2+1k2+k+1，
故 2|MN|+1|OH|2=k2−k+1k2+1+k2+k+1k2+1=2．
即 2|MN|+1|OH|2为定值2．