2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中正确的是( )
A. 已知向量a//b，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底
B. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u=(1,2,−2)，v=(2,1,2)，则α⊥β
C. 已知三棱锥O−ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB−nOC(m,n∈R)，则m−n=1
D. 已知A(0,1,0)，B(1,2,0)与AB方向相同的单位向量是(1,1,0)
2.已知等比数列{an}满足a5−a3=8，a6−a4=24，则q=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
3.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=( )
A. 2B. −10C. −2D. 10
4.直线y=x−1过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n，且数列{an}的前n项和Sn.若Sn≥λ，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,2]D. (−∞,−1]
7.设圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−3 2=0的距离为d，则d的取值范围是( )
A. [0,3]B. [2,4]C. [2,5]D. [3,5]
8.设F1，F2为椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0与双曲线C2的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2.若椭圆C1的离心率e∈[38,49]，则双曲线C2的离心率取值范围是( )
A. [54,53]B. [32,+∞)C. (1,4]D. [32,4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y=ax−2a+4(a∈R)必过定点(2,4)
B. 截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示
C. 直线y=− 33x+1的倾斜角为120°
D. 过点(−2,3)且垂直于直线y=12x+32的直线方程为2x+y+1=0
10.下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( )
A. 设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|−|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线
B. 设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP=12(OA+OB)，则动点P的轨迹为椭圆
C. 方程2x2−5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点
11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，E为棱A1B1的中点，O为侧面ADD1A1的中心.下列结论正确的是( )
A. OE⊥平面A1BC1
B. AB与平面A1BC1所成角的余弦值为 33
C. 若点P在各棱上，且到平面A1BC1的距离为 36，则满足条件的点P有9个
D. 若点P在侧面BCC1B1内运动，且满足|PE|=1，则存在P点，使得A1P与BC1所成角为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}中，a1=1，且an+1+2an+3=0，n∈N∗，数列{an}的前n项和为Sn，则S6=______．
13.如图所示，已知双曲线x24−y2b12=1(b1>0)和椭圆x29+y2b22=1(b2>0)有共同的右焦点F，记曲线Ω为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M，N分别在曲线Ω中的双曲线和椭圆上，则△MNF周长的最小值等于______．
14.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M/​/平面CD1E，则M点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示AE；
(2)求AE的长．
16.(本小题15分)
已知斜率k=−12且过点A(5,−4)的直线l1与直线l2：x−2y−5=0相交于点C．
(1)求以点C为圆心且过点B(4,2)的圆C的标准方程；
(2)求过点Q(−3,1)且与(1)中的圆C相切的直线方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．
(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC．
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M，N两点，求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
19.(本小题17分)
设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=12an2+12an，正项等比数列{bn}满足：b2=a2，b4=a6．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=an,n=2k−1,bn,n=2k,其中k∈N∗，数列{cn}的前n项和为Tn，求所有的正整数m，使得T2mT2m−1恰为数列{cn}中的项；
(3)设t为正整数，已知数列{dn}是首项为1且公比为正数的等比数列，对任意正整数k，当k≤t时，都有dk≤ak≤dk+1成立，求t的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.B
8.D
9.AD
10.CD
11.AC
12.−48
13.2
14. 2
15.解：(1)AB=a，AD=b，AA1=c，则AE=AB+BC+CE=a+b+12c．
(2)∵AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴|AE|2=(a+b+12c)2=a2+b2+14c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c
=25+9+4+0+(20+12)⋅cs60°=54，
∴|AE|=3 6．
16.解：(1)l1：y+4=−12(x−5)，即x+2y+3=0，l2：x−2y−5=0；
由x+2y+3=0x−2y−5=0，得x=1y=−2，即C(1,−2)．
因为B(4,2)在圆上，所以圆的半径r=|CB|=5，
所以圆C的方程为(x−1)2+(y+2)2=25；
(2)由(1)知，圆的方程为：(x−1)2+(y+2)2=25，
因为Q(−3,1)，C(1,−2)，所以|QC|= (−3−1)2+(1+2)2=5，
所以点Q(−3,1)在圆C上，
设过Q点圆的切线方程为l，
当切线的斜率不存在时，切线方程为：x=−3，
此时圆心C(1,−2)到切线的距离为：1−(−3)=40，f(x)为增函数．
故f(x)≥f(3)=1>0，
∴当m≥3时，方程3m−1+1−m2=0无解，
即m=2是方程唯一解．
③若3−2(m2−1)3m−1+m2−1=3，则m2=1，即m=1．
综上所述，m=1或m=2．
(3)设t为正整数，已知数列{dn}是首项为1且公比为正数的等比数列，
对任意正整数k，当k≤t时，都有dk≤ak≤dk+1成立．
设等比数列{dn}的公比为q，q>0，
令k=1，可得1≤1≤q，即q≥1，
若q=1，则由dk⩽ak⩽dk+1得1≤ak≤1，此时t的最大值为1；
若q>1，由dk⩽ak⩽dk+1，得qk−1≤k≤qk⟺(k−1)lnq≤lnk≤klnq，
即lnkk≤lnq≤lnkk−1，此时只需考虑k≥2情形：
令f(x)=lnxx(x≥2)，g(x)=lnxx−1(x≥2)，
则f′(x)=1−lnxx2，当2e时，f′(x)