2024-2025学年浙江省嘉兴市桐乡市高二上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省嘉兴市桐乡市高二上册10月月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了直线与直线平行，则的值为，下列说法中，正确的有，已知点圆上，点、，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已如点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是( )
A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
6．已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
7．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为
10．已知点圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．过点且与直线垂直的直线方程为 .
13．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.
14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .
四．解答题：本小题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
已知直线的方程为：．
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
16．（本题满分15分）
记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
17．（本题满分15分）
如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，求二面角的正弦值．
18.（本题满分17分）
已知O为原点，直线与圆交于、两点．
(1)若，求的值；
(2)在(1)的条件下，求的取值范围；
(3)若，求圆的面积．
19.（本题满分17分）
已知函数，（，为常数）．
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若函数有个零点，求实数的取值范围；
(3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：
2024-2025学年浙江省嘉兴市桐乡市高二上学期10月月考数学
检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
设直线的倾斜角为，，
则，.故选：D.
2．已如点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
由，，，得，，
设是平面的一个法向量，
则即,
取，则，故，
则与共线的向量也是法向量，
经验证，只有A正确.故选：A．
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【正确答案】C
依题意，直线与直线平行或重合时，
，解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以的值为.故选：C
4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
点在线段上，且，为中点，
，，
．故选：B．
5．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是( )
A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，
则(1,0)关于y＝－x对称的点为(0，－1)，
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.故选A．
答案 A
6．已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ B ）
A．B．C．D．
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
7．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
直线过点.
如图，由题意，直线与线段总有公共点，
即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，
于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，
即a的取值范围是.故选：D.
8．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．
【详解】根据题意得为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因为直线与曲线恰有两个公共点，
由图可得，即的取值范围是．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为
【正确答案】CD
A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD
10．已知点圆上，点，，则（ ）
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
【正确答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）

A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【正确答案】ABD
依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，解得，
所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．过点且与直线垂直的直线方程为 .
【正确答案】
直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故
13．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.
【正确答案】
【详解】对于，当时，，当时，，
所以，
所以，
圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
所以点P到直线的距离的最大值，
点P到直线的距离的最小值，
所以面积的最大值为，
面积的最小值为，
所以面积的取值范围是，
故
14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则该斜坡的坡度是 .
【正确答案】
设斜坡的坡角为，由题意知 与 的夹角为，
因为，
所以，
即，所以，
因为是锐角，所以.故
四．解答题：本小题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线的方程为：．
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
16．记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
17．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
（1）求证：平面ABC；
（2）若，求二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面ABC．
（2）由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，
分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设，由题可知，，，，．
由，可得．
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．
设平面的法向量为，
而，，
则有，
取，得．
设平面与平面夹角为，
则，所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
18.已知O为原点，直线与圆交于、两点．
(1)若，求的值；
(2)在(1)的条件下，求的取值范围；
(3)若，求圆的面积．
【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：圆的圆心为，
半径，其中，
圆心到直线的距离，
，解得；
（2）
（3）解：设，
联立，消得，
，
则，
又，
因为，所以，
即，
即，
所以，解得满足，
此时圆的半径，
所以圆的面积为.
19.已知函数，（，为常数）．
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若函数有个零点，求实数的取值范围；
(3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：．
【正确答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，则，解得，
当时，，其定义域为，
又，
所以是偶函数，故.
（2）因为，
当，即时，，
此时开口向下，对称轴为，且，
当，即或时，，
所以当时，在，上单调递增，且，，
则的图像如下：

显然，当，即时，有个零点；
当时，在，上单调递减，且，，
则的图像如下：

显然，当，即时，有个零点；
当时，为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；
综上：或.
（3）因为，
所以当时，，则，易知在上单调递减，
当时，，则，易知在上单调递增，
因为与在有两个互异的交点，
所以与在与各有且只有一个交点，
又，所以，且，，
则，，故，即，则，
要证，即证，即证，
只需证，即证，
即证，即证，
因为，所以，则，
所以显然成立，证毕