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    浙江省嘉兴市桐乡市高级中学2022-2023学年高二数学上学期9月检测试题(Word版附解析)
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    浙江省嘉兴市桐乡市高级中学2022-2023学年高二数学上学期9月检测试题(Word版附解析)

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    这是一份浙江省嘉兴市桐乡市高级中学2022-2023学年高二数学上学期9月检测试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    高二年级数学检测(9月)
    一、单选题
    1. 已知是虚数单位,则复数的虚部是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用复数的除法化简复数,由此可得出结果.
    【详解】,因此,复数的虚部为.
    故选:B
    2. 已知集合,,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】解一元二次不等式和对数不等式求得集合A,B,再求交集即可得解.
    【详解】解得:,于是得,
    解得:,于是得,
    所以.
    故选:C
    3. 在中,内角为钝角,,,,则
    A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先根据同角三角函数平方关系求,再根据余弦定理求
    【详解】因为为钝角,
    所以
    因此由余弦定理得
    (负值舍去),选A.
    【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
    4. 若直线与直线平行,则的值等于( )
    A. B. C. 或 D. 或
    【答案】A
    【解析】
    【分析】若直线平行,可得,求解即可
    【详解】解:∵直线和直线平行,
    ∴,解得或,
    当时,两直线重合
    故选:A
    5. “”是“直线的斜率不存在”的( )
    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】先求直线斜率不存在时的的值,然后再验证即可得到答案.
    【详解】直线的斜率不存在,则,,
    解得.
    “”是“直线的斜率不存在”的充要条件,
    故选:C.
    6. 用函数表示函数和中的较大者,记为:.若,,则的大致图象为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象,结合函数的定义得出该函数的图象.
    【详解】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象,如下图所示:

    由图象可知,,
    因此,函数的图象为A选项中的图象.
    故选:A.
    【点睛】本题考查函数图象的识别,理解函数的定义是关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
    7. 已知,,,若对任意实数,()恒成立,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据条件由进行数量积的运算即可求出,然后根据可得出对任意实数,即可得到恒成立,然后根据及解出的范围即可.
    【详解】解:,
    ,,

    对任意实数,,
    对任意的实数,,
    对任意的实数,恒成立,
    ,解得或,
    因为,所以
    实数的范围为:.
    故选:.
    8. 已知函数,若方程恰有个实根,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    利用基本不等式计算得出,由题意可知,关于的方程有两个不等的实根、,且、,然后作出函数的图象,数形结合可得出实数的取值范围.
    【详解】,,

    当时,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
    当时,由基本不等式可得,
    当且仅当时,等号成立.
    所以,.
    当时,.
    作出函数的图象如下图所示:

    由于方程恰有个实根,则关于的方程有两个实根、,设.
    若,则,此时关于的方程的另一实根,
    直线与函数的图象只有一个交点,
    直线与函数的 图象有两个交点,
    此时,关于的方程恰有个实根,不合乎题意;
    若,则,则关于的方程的另一实根,
    直线与函数的图象有且只有一个交点,
    直线与函数的 图象有两个交点,
    此时,关于的方程恰有个实根,不合乎题意;
    所以,关于的方程有两个不等的实根、,且、,

    由图象可知,或.
    故选:D.
    【点睛】思路点睛:对于复合函数的零点个数问题,求解思路如下:
    (1)确定内层函数与外层函数;
    (2)确定外层函数的零点;
    (3)然后确定直线与内层函数的交点个数,最后得到原函数的零点个数为.
    二、多选题
    9. 下列选项正确的是( )
    A. , B. ,
    C. , D. ,
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】对于A选项,,,故A错误;对于B选项,令,根据函数的单调性可得:在上,,故B选项错误;对于C选项,作差变形,结合配方法即可得C选项正确;对于D选项,当或时,成立,正确.
    【详解】对于A选项,,,故A选项错误;
    对于B选项,令,则,
    故函数在上单调递增,,
    故在上,,故B选项错误;
    对于C选项,,故,,即C选项正确;
    对于D选项,显然当或时,成立,故D选项正确.
    故选:CD.
    10. 已知函数,则下列结论正确的是( )
    A. 是偶函数 B. 有最小值
    C. D. 方程有两个不相等的实数根
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    A.利用函数奇偶性定义判断的奇偶性;B.根据的奇偶性和单调性确定出的最小值;C.根据的单调性,采用举例的方式进行分析;D.利用零点的存在性定理判断出的零点个数,即可分析出方程的实根个数.
    【详解】A.因为的定义域为关于原点对称,
    且,所以为上的偶函数,故正确;
    B.当时,单调递增,所以在单调递增,
    所以在上单调递减,所以,故正确;
    C.因为在上递减,在上递增,所以,
    所以,所以此时不成立,故错误;
    D.记,且在上递减,在上递增,
    所以在上递减,在上递增,又偶函数,所以为偶函数,
    因为,
    所以在上有一个零点,所以在上也有一个零点,
    所以在上有两个零点,所以方程有两个不相等的实数根,故正确,
    故选:ABD.
    【点睛】结论点睛:奇、偶函数在对称区间上的单调性和最值:
    (1)奇函数在对称区间上的最值互为相反数;
    (2)偶函数在对称区间上的最值相等;
    (3)奇函数在对称区间上的单调性相同;
    (4)偶函数在对称区间上的单调性相反.
    11. 下列说法正确的是( )
    A. 在中,若,则为锐角三角形
    B. 若,则在方向上的投影向量为
    C. 若,且与共线,则
    D. 设是所在平面内一点,且则
    【答案】BD
    【解析】
    【分析】根据向量数量积为负,确定其夹角为钝角,从而判断;求向量投影判断;用反证法判断;用向量加法几何意义判断.
    【详解】解:对于,因为,所以,于是,所以为钝角三角形,所以错;
    对于,因为,则在方向上的投影向量为,所以对;
    对于,假设对,则,从而,于是,所以与不共线,所以与与共线矛盾,所以错;
    对于,取中点,连接、,延长到,使,连接、,
    则四边形为平行四边形,于是,又因为,
    所以,所以、、共线,且,所以,所以对.
    故选:.

    12. 如图,在矩形中,,,、分别为边、的中点,沿将折起,点折至处(在平面外),若、分别为线段、的中点,则在折起过程中( )

    A. 存在某个位置,
    B. 直线始终与面平行
    C. 点在某个圆上运动
    D. 直线、与平面所成角分别为、,、能够同时取得最大值
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】由反证法可判断A;由面面平行可判断B;取的中点为,由可判断C;由平面平面可判断D.
    【详解】对于选项A:如图,取的中点为,连接,因为,所以,即. 若,又,则平面,从而,显然矛盾,故A错误;

    对于选项B:如图,连接,则,,又,,所以可证平面平面,又平面,所以平面,故B正确;

    对于选项C:如图,取的中点为,连接,又是的中点,则,所以点在以为圆心,为半径的圆上,故C正确;

    对于选项D:如图,当平面平面时,与平面所成角取得最大值,因为平面平面,所以平面平面,此时与平面所成角也取得最大值,故D正确.

    故选:BCD.
    三、填空题
    13. 直线过原点,与平行.若角的终边落在直线上,则___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先求出直线的方程,再根据三角函数的定义求的值,化弦为切即可求解.
    【详解】因为直线过原点,与平行,
    所以直线的方程为:,
    当时,取终边上的点,可得,
    当时,取终边上的点,可得,
    所以若角的终边落在直线上,则,

    故答案为:.
    14. 已知,,过点且斜率为的直线与线段相交,则的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】直线与线段相交,分别求过端点、时的斜率,即可得的范围.
    【详解】由题意,过点且斜率为的直线与线段相交,

    当过点时,;当过点时,;
    ∴由图知:的取值范围为.
    故答案为:
    15. 将函数的图象向右平移个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线对称,则的最小正值为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先求得函数变换后的解析式,根据所得解析式对应的图像关于直线对称,求得的最小正值.
    【详解】由题意得,的图象向右平移个单位,
    变为,
    再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,
    所得解析式为,
    因为所得图象关于直线对称,
    所以,,
    当时,取得最小正值为.
    故答案为:
    16. 已知,,直线:,:,且,则最小值为___________
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据得到,再将化为积为定值的形式后,利用基本不等式可求得结果.
    【详解】因为,所以,即,
    因为,所以,
    所以,
    当且仅当时,等号成立.
    故答案为:.
    四、解答题
    17. 设的内角,,的对边分别为,,,向量, ,已知为锐角.
    (1)若,求的取值范围;
    (2)在(1)的条件下,,且,求的面积.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】(1)由平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和辅助角公式化简,再根据结合正弦函数的性质即可求解;
    (2)由可求出角,结合已知条件由余弦定理即可求边,再由三角形的面积公式即可求解.
    【详解】(1),
    因为,则,
    所以, ,
    所以的取值范围是;
    (2)由(1)知,,
    所以,
    因为为锐角,所以,
    因为,
    由余弦定理可得:即,
    解得:或(舍)
    所以的面积.
    18. 已知直线.
    (1)求证:无论为何实数,直线恒过一定点;
    (2)若直线过点,且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小,求直线的方程.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    【分析】(1)解方程组,可得定点的坐标;
    (2)设直线的方程为,分析可得,求出该直线与两坐标轴的交点坐标,可得出三角形面积关于的关系式,结合基本不等式可求得的最小值,利用等号成立可求得的值,即可得出直线的方程.
    【详解】(1)证明:将直线的方程化为,
    解方程组,解得,故直线恒过定点;
    (2)由题意可知,直线的斜率存在且不为零,
    设直线的方程为,
    令,可得,令,可得,
    由已知可得,解得,
    所以,三角形面积为,
    当且仅当时,等号成立,此时直线的方程为,即.
    19. 如图,已知是边长为2的正三角形,点四等分线段

    (1)求
    (2)为线段上一点,若,求实数的值;
    (3)为边上一点,求的最小值.
    【答案】(1);(2) ;(3).
    【解析】
    【分析】先根据题目条件确定为的中点,为的中点,为的中点,为的中点,
    ,再由是正三角形,得.
    (1)利用向量数量积的运算律与向量加法法则,化简可得,再在中利用勾股定理求出的长;
    (2)根据为线段上一点,设,再利用向量的加减法与数乘运算,求出结合列方程组求解,可得;
    (3)根据为边上一点,设,,再利用向量的加减法与数乘运算,
    求出,进而得出,从而当时,取得最小值.
    【详解】由题知,为的中点,为的中点,为的中点,为的中点,
    因为是正三角形,所以.
    (1) ,
    因为,,,
    所以,
    故.
    (2) 因为为线段上一点,所以可设,
    又,
    所以.
    又,且向量,不共线,
    所以,解得,
    所以实数的值为.
    (3)因为为边上一点,所以可设,.

    因为,,
    所以,
    当时,取得最小值.
    20. 如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

    (Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
    (Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
    【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
    【解析】
    【详解】(Ⅰ)由已知得.
    取的中点,连接,由为中点知,.
    又,故,四边形为平行四边形,于是.
    因为平面,平面,所以平面.
    (Ⅱ)取的中点,连结.由得,从而,且
    .
    以为坐标原点, 的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,
    ,,,,
    , ,.
    设为平面 的一个法向量,则

    可取.
    于.

    【考点】空间线面间的平行关系,空间向量法求线面角.
    【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理.

    21. 如图①所示,平面五边形ABCDE中,四边形ABCD为直角梯形,∠B=90°且AD∥BC,若AD=2BC=2,AB=,△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形,现将△ADE沿AD折起,连接EB,EC得如图②的几何体.

    (1)若点M是ED的中点,求证:CM∥平面ABE;
    (2)若EC=2,在棱EB上是否存在点F,使得二面角E-AD-F的大小为60°?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)证明见解析;(2)存在;点为的中点.
    【解析】
    【分析】(1)作出辅助线,证得,结合线面平行的判定定理即可证出结论;
    (2)证出面,建立空间直角坐标系,假设存在点,然后利用空间向量的夹角公式建立方程,解方程即可判断.
    【详解】(1)证明:取的中点为,连接,,∵是的中点,,
    ∴是的中位线,
    ∴且,
    所以为平行四边形,∴,
    因为面,面,所以平面.

    (2)解:取的中点为,连接,,其中,,
    由可得,显然面,
    故以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴;
    如图建立空间直角坐标系,

    则,,,,
    设存在点,
    ,,,
    易知面的法向量可取,
    另外,,
    设面的一个法向量为,则

    可取一个法向量为,
    则,为的中点.
    故存在点为的中点.
    22. 已知函数
    (1)若,解不等式;
    (2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
    (3)记函数在上最大值为,求的最小值.
    【答案】(1);(2)或;(3).
    【解析】
    【分析】
    (1)由,先化简函数解析式,再讨论和两种情况,分别解所求不等式,即可得出结果;
    (2)先将函数解析式,写出分段函数的形式,分别讨论,,三种情况,根据函数单调性,即可求出结果;
    (3)讨论或,,,四种情况,结合函数单调性,即可得出最大值,进而可求出最小值.
    【详解】(1)时,,
    当时,可化为,解得:
    当时,可化为,解得,
    综上,不等式的解集为.
    (2),因为是开口向上,对称轴为的二次函数,
    当,即时,在上显然单调递增,满足题意;
    当,即时,在上为增函数,满足题意;
    当,即时,为使函数在上单调递增,需满足:,解得;
    综上,或;
    (3)由(2)知:当或,则在上单调递增,所以;
    当,则,对称轴,所以;
    当时, ;
    当时,,
    因,所以.
    综上,,
    当时,.
    【点睛】方法点睛:
    求解含参二次函数在给定区间的最值问题时,通常需要利用分类讨论的的方法进行求解,考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况,结合函数单调性,即可求解.
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