云南省大理白族自治州大理市2025届高三上学期10月模拟预测 数学试题（含解析）

这是一份云南省大理白族自治州大理市2025届高三上学期10月模拟预测 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了已知，且，则的最小值为，已知抛物线，假设是两个事件，且，，，则，设，过定点的动直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A.2B.3C.4D.9
3.如图，揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，可近似视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型塔底宽，塔顶宽约，侧面面积为，据此计算该揽月阁模型体积为（ ）
A.1400B.2800C.D.8400
4.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A.B.
C.D.
5.现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种
A.10B.20C.30D.60
6.已知，且，则的最小值为（ ）
A.4B.6C.8D.10
7.若函数在为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（ ）
A.5B.C.4D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.假设是两个事件，且，，，则（ ）
A.B.C.D.
10.设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有（ ）
A.直线过定点B.直线与圆相交最短弦长为2
C.动点的曲线与圆相交D.最大值为5
11.如图是函数（，，）的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且，的面积等于，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.函数的最小正周期为
C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.函数的单调递减区间是，
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在第______象限.
13.椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于______.
14.已知递增的等差数列的公差为，从中抽取部分项，，……构成等比数列，其中，，，且集合中有且仅有3个元素，则的取值范围为______.
四、解答题（共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，为边上的一点，，且______，求的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
①是的平分线；
②为线段的中点
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，.求二面角的大小.
17.（本小题满分15分）
已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，顶点到渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于，两点，且的面积为，求直线的方程
18.（本小题满分17分）
某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进人决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
（1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立.
（ⅰ）求三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望
（2）若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略
19.（本小题满分17分）
已知函数（），其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰好有一个零点，求的取值范围；
（3）若有两个零点，（），求证：.
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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1.根据题意得集合，，
则，故选D.
2.∵各项均为正数的等比数列中，，
∴，故选C.
3.如图，正四棱台底面边长分别为和，侧面积为，
设为斜高，可得，
解得.即，
∴棱台的高，
∴，
棱台的体积为：，故选B.
4.由图可知函数为偶函数，排除AB两个选项；
C选项，因为，由图，故排除C选项；
D选项，是偶函数，故选D.
5.根据题意，可分为两类：①甲乙相邻有种方法；②甲乙不相邻有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的差法，故选C.
6.
（当且仅当，时取等号），故选C.
7.，由题意对恒成立，
又，∴.
当时，，在递增，
∴成立.综上得.，故选A.
8.设直线为，代入抛物线得，
则，，∴，
直线为，线段的中点记为，
则，.
又中点在上，∴，故选B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.因为，所以；
因为事件与相互独立，所以与相互独立，所以；
因为，所以；
因为，所以，故选AD.
10.因为动直线：过原点，所以，
由，得，则，故A错误；
当时，圆心到直线：的最大值为，
所以直线与圆相交最短弦长为，故B正确；
因为：，：，所以，
所以，所以动点的曲线是以为直径的圆，该圆的圆心坐标为，半径为，
因为两圆圆心距为，两圆半径之和为，两圆半径之差为，且，所以动点的曲线与圆相交，故C正确；
因为，当且仅当时，
等号成立，所以最大值为5，故D正确，故选BCD.
11.由图象可知，，即，
所以，故B正确；即，所以，
且图象过点，即，又，
所以，所以，
当时，故A正确；
将的图象向右平移个单位长度得到，故C正确；
令，则，函数为增函数，
当，时为减函数，
即，解得，，
所以函数的单调递减区间是，，故D错误，故选ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限
13.依题意，，，，所以直线的方程为：，
又直线与以为圆心半径为的圆相切，故，
化简得，即或，又椭圆的离心率，所以.
14.，，，…，构成等比数列，其中，，，
因为，所以，即，
所以，，，所以，
因为，即，
所以，
又因为，所以，
即，∴，
∴，
∴是递减数列，由题意得且，解得.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为，可得，
可得，
因为，，所以，可得.
（2）若选①：由平分得：，
即，即，
在中，由余弦定理得，
即，两式联立可得，
所以的周长为；
若选②：得，
，
整理可得，
在中，由余弦定理得，
所以，
两式联立可得，所以，
从而的周长为.
16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图，取中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，
所以且，
在菱形中，因为且，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：因为平面，，，平面，
所以，，.
连接，因为，，且，
（或者证
所以，在菱形中，，即为正三角形，
又因为为中点，所以，
以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为且.
又因为为正三角形且，所以，
则，，，则，，
由平面，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
所以，所以二面角的大小为60°.
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题得， ①
由对称性不妨设的顶点为，则， ②
联立①②解得，，所以的方程为.
（2）设，，
当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由得，
所以，解得，
因为，，
所以
.
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或；又因为，所以，
所以直线的方程为.
18.（本小题满分17分）
解：（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种情况，
；
（ⅱ）由题意可知，，
所以，
，
，
所以三人总积分的分布列为
所以.
（2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中包含三种情况，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故；
同理可得；
；
显然，
故，
，
由于，故，
所以，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局.
19.（本小题满分17分）
（1）解：（）.
①当时，，在递减.
②当时，，.
ⅰ）若，则，在递增.
ⅱ）若，令.有：，；
，，∴在递减，在递增.
综上：当时，在递减；当时，在递增：
当时，在递减，在递增.
（2）解：令.
记（）..
易知，；，.
∴在递增，在递减.
又，，，
故恰有一个零点时，或.
（3）证明：由（2）知.
由，，
作差可得.
所证不等式
.
令（），则上不等式即.①
记（），
，
∴在递增，
∴.所以不等式①成立，故有题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
D
C
C
A
B
题号
9
10
11
答案
AD
BCD
AB
题号
12
13
14
答案
二
2
3
4
0.6
0.16
0.2