2023-2024学年山东省淄博市高二上册12月月考质量检测数学测试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高二上册12月月考质量检测数学测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．5
5．定义在上的偶函数满足：对任意，，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，方程的根的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题（每小题5分，漏选得2分，错选得0分，共20分）
9．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称B．的最大值为0
C．在上单调递减D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．当时，幂函数为减函数，则 ．
14．已知是奇函数，且当时，.若，则 .
15．已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是 ．
16．定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数在上是以3为上界的函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
17．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求sinα和tanα的值
(2)若，化简并求值
18．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
19．函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
20．已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
22．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
1．B
【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】.
故选：B
2．A
【分析】根据绝对值不等式和对数函数的单调性，解出，即可得到结果.
【详解】由，得；
由，可得，即，
又在上单调递增，
所以.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3．C
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.
【详解】因为在上单调递减，所以，即.
因为在上单调递增，又，，
又，所以，故，所以.
故选：C.
4．C
【分析】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5．D
【分析】根据判断函数的单调性，结合偶函数和单调性进行求解即可.
【详解】不妨设，
由，
所以该函数是上的增函数，
或，
，
则或，
由，
由，
综上所述：不等式的解集是，
故选：D
6．C
【分析】先分析函数的奇偶性，然后根据时取值的正负进行判断即可.
【详解】因为，所以，所以定义域为且关于原点对称，
又因为，
所以，
所以为奇函数，故排除BD，
当时，，所以，故排除A，
故选：C.
7．B
【分析】由有最大值结合指数函数的图像，得出当时，可取最大值，且该最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【详解】当时，的取值范围是，
故当时，可取最大值，且该最大值大于等于，
显然不合题意，
则必有，此时，解得，
故选：B．
8．D
【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.
【详解】
设，则，即，故，
因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，
故原方程共有6个根.
故选：D.
9．ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】根据函数的奇偶性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是偶函数，不是奇函数，
图象关于原点轴对称，不关于原点对称，所以A选项错误，
，当时，，
单调递减，C选项正确，，D选项错误.
所以当时，单调递增，
所以的最大值为，所以B选项正确，
故选：BC
11．ABD
【分析】根据指数函数的性质即可对A项判断；根据一元二次不等式的性质即可对B项判断；根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可对C项判断；根据复合函数的单调性即可对D项判断.
【详解】对于A：函数（且）的图像恒过定点，故A项正确；
对于B：不等式的解集为或，
所以，解得，所以，故B项正确；
对于C项：，
当且仅当时，等号成立，而此方程无解，故C项错误；
对于D项：令，由，得，
所以的定义域为，
所以当时，单调递增，而，单调递增；
当时 ，单调递减，而单调递减；
又因为为减函数，所以的单调递增区间为，故D项正确.
故选：ABD.
12．BC
【分析】根据函数的定义域为R，可得恒成立，求解m范围，判断A；根据函数的值域可得，结合二次函数性质可判断B；根据复合函数的单调性结合二次函数性质可判断C；利用对数函数的单调性解不等式判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，则恒成立，
故时，，不合题意，
故需满足且，解得，
即实数m的取值范围是，A错误；
对于B，函数的值域为，则，
故，解得，B正确；
对于C，当时，在区间上为增函数，符合题意；
当时，函数由复合而成，
为上的增函数，故由在区间上为增函数，
可知在区间上为增函数且，
故需满足，解得，
即实数m的取值范围是，C正确；
对于D，时，，即，
则，则不等式的解集为，D错误，
故选：BC
13．2
【分析】利用幂函数定义即可得到结果.
【详解】函数为幂函数，则，解得或，
又因为函数在上单调递减，
可得，可得，
故2
14．-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
15．
【分析】由扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长是，则其扇形周长是，解得，故该扇形的面积是．
故答案为.
16．
【分析】设，则，则，根据新定义可得在上恒成立，即，分别构造函数，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出的范围.
【详解】设，，，，
由题意知，在上恒成立．即在上恒成立．
，即，，
在上为增函数，，
在上为减函数，
，
故实数a的取值范围是．
故答案为．
本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【详解】（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2）∵，
∴.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
【详解】（1）由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；
（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；
（3）利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
（2）解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
（3）解：
且函数的最小值为
即，得
即.
20．(1)
(2)函数在为单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
（2）当时，，

当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
（3）则，
在为奇函数，，
又函数在为单调递减，
t的不等式的解集为
21．(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．