2025年中考数学一轮复习 第17讲 全等三角形 课件+练习+讲义

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4大中考命题点+19大题型探究
全等三角形的性质与证明
全等三角形的性质与计算
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角;掌握全等三角形的判定定理；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
【考情分析】全等三角形的判定及性质经常与平移、旋转等几何变换相结合，综合考查学生的逻辑推理能力和分析几何图形的能力. 此类题目通常是要利用全等三角形的性质得到线段(或角)相等. 解答时应结合已知条件找到两个全等三角形，甚至需要添加辅助线构造两个全等三角形，试题常以解答题的形式出现，有一定难度.
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
能完全重合的两个图形叫做全等图形
①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形
能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等用符号“≌”，读作“全等于”
3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）
2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等．
只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
平移变换翻折变换旋转变换
经过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为（     ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
4．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC=8，CE=5，则CF的长为 ．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（    ） A．圆柱B．正方体 C．三棱柱D．圆锥
∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
1．（2024·云南·中考真题）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．求证：△ABC≌△AED．
2.（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（    ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D．两点之间线段最短
3．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②分别以C,D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM,DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）
1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DECC．AB=DC D．AF=DE
2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，AB与CD相交于点O，AC ∥ BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是(    )
  A．∠A=∠DB．AO=BO C．AC=BOD．AB=CD
A．∠1=∠2且CM=DMB．∠1=∠3且CM=DMC．∠1=∠2且OD=DMD．∠2=∠3且OD=DM
【例1】 （2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
2．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB=AC，②DB=DC，③∠BAD=∠CAD，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？_________（填“全等”或“不全等”），依据是_________；(2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明△ABD≌△ACD，但补充一个条件例如_________也可以证明△ABD≌△ACD，请写出过程．
【例1】 （2024·四川达州·中考真题）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
（1）解：如图所示，即为所求
1．（2024·贵州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ）
A．∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B C．DE=DC D．AE=AC
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
(1)小虎同学的证明过程中，第_____步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
(1)小刚同学的证明过程中，第______步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
【例1】 （2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
全等三角形的判定法方法：
1）若△ABC≌ΔDEF，则前后对应关系确定； 若△ABC与△DEF全等，则前后对应关系不确定.2）在全等三角形判定中，有两种不能判定三角形全等的方法：SSA和AAA.
【例1】 （2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
熟练掌握：平行线的性质全等三角形的判定与性质等边对等角，三角形内角和定理
熟练掌握：平行四边形的性质全等三角形的判定和性质正确地作出辅助线
【例1】 （2024·四川内江·中考真题）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF
(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数．

1.（2022·广西柳州·中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
（1）解：在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．
（2024·山东威海·中考真题）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．
应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．
应用：（1）：以点A为圆心，以AB长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，以点A为圆心，以AC长度为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点D，连接AD，AE，图形如图所示．
（2）：以点C为圆心，以AC长为半径作弧，交AC的延长线于一点，该点即为点D，以点C为圆心，以BC长为半径作弧，交直线BC于一点，该点即为点E，连接DE，图形如图所示．
根据作图可得：CD=AC，CE=BC，又∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE，∴∠CDE=∠BAC，DE=AB.
【例1】 （2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
1．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；
添加辅助线的基本作图方法：
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线（或类中线），使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移.
（3）解：延长AD到M，使得DM=2AD，连接BM，则AM=3AD，
用截长补短的方法，将边长转化，构造全等
该模型适用于求证线段的“和、差、倍、分”关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明.
【例1】 （2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1B．1.8C．2D．2.5
根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题.

（1）解：测量示意图如图所示