数学9.2 分式的运算第3课时教学设计

这是一份数学9.2 分式的运算第3课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第3课时 分式的混合运算
1．进一步掌握分式的加、减、乘、除、乘方运算法则，掌握分式的混合运算顺序，能进行分式的混合运算．
2．能解决一些简单的与分式运算有关的实际问题，进一步体会分式的模型思想．
3．类比分数的混合运算顺序，经历分式的混合运算过程，感悟类比学习的乐趣与价值，发现数学知识处处有联系，体验成功的喜悦．
重点：正确、熟练的进行分式的混合运算．
难点：正确、熟练的进行分式的混合运算．

一、情境导入
提出问题：
1.说出有理数混合运算的顺序．
2.类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？
今天我们共同探究分式的混合运算．
二、合作探究
探究点：分式的混合运算
【类型一】 分式的混合运算
计算：
(1)( eq \f(3a,a－3) － eq \f(a,a＋3) )· eq \f(a2－9,a) ；
(2)(x＋ eq \f(x,x2－1) )÷(2＋ eq \f(1,x－1) － eq \f(1,x＋1) ).
解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝ eq \f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）) · eq \f(（a＋3）（a－3）,a) ＝2a＋12.
(2)原式＝ eq \f(x3,（x＋1）（x－1）) ÷ eq \f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）) ＝ eq \f(x3,（x＋1）（x－1）) · eq \f(（x＋1）（x－1）,2x2) ＝ eq \f(x,2) .
方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【类型二】 分式的化简求值
先化简代数式 eq \f(x2－2x＋1,x2－1) ÷(1－ eq \f(3,x＋1) )，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝ eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）) ÷( eq \f(x＋1,x＋1) － eq \f(3,x＋1) )＝ eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）) × eq \f(x＋1,x－2) ＝ eq \f(x－1,x－2) ，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝ eq \f(1,2) .
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【类型三】 利用公式变形对分式进行化简
已知a＋ eq \f(1,a) ＝5，求 eq \f(a2,a4＋a2＋1) 的值．
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将 eq \f(a2,a4＋a2＋1) 的分子、分母颠倒过来，即求 eq \f(a4＋a2＋1,a2) ＝a2＋1＋ eq \f(1,a2) 的值，再利用公式变形求值就简单多了．
解：因为a＋ eq \f(1,a) ＝5，所以(a＋ eq \f(1,a) )2＝25，即a2＋ eq \f(1,a2) ＝23.所以 eq \f(a4＋a2＋1,a2) ＝a2＋1＋ eq \f(1,a2) ＝23＋1＝24.所以 eq \f(a2,a4＋a2＋1) ＝ eq \f(1,24) .
方法总结：利用x和 eq \f(1,x) 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
【类型四】 分式混合运算的应用
甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a，b为正整数且a≠b).
(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均价格为 eq \f(20a＋20b,20＋20) ＝ eq \f(a＋b,2) ；乙的平均价格为 eq \f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b)) ＝ eq \f(2ab,a＋b) ；
(2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为 eq \f(a＋b,2) － eq \f(2ab,a＋b) ＝ eq \f(（a＋b）2,2（a＋b）) － eq \f(4ab,2（a＋b）) ＝ eq \f(（a－b）2,2（a＋b）) ，∵a≠b，∴ eq \f(（a－b）2,2（a＋b）) ＞0.∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．
方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．
三、板书设计
1．分式的混合运算
先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算．
2．分式混合运算的应用
在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．