湖北省部分名校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省部分名校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
2.设集合 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选
择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有( )
A. 7 种 B. 8 种 C. 9 种 D. 10 种
4.已知函数 与函数 的图象关于直线 对称.若 在区间 内单调递
增，则实数 m 的取值范围为
A. B. C. D.
5.若 ，则 ( )
A. B. C. D.
6.作边长为 3 的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，
则前 n 个内切圆的面积之和为
A. B. C. D.
7.若 是奇函数，则 的值为( )
A. B. 1 C. D.
8.已知椭圆 上存在两点 ， 到点 的距离相
等，则椭圆离心率的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.已知圆锥的顶点为 P，AB 为底面圆 O 的直径， ， ，点 C 在圆 O 上，则( )
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A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为
C. 三棱锥 体积的最大值为 1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为
10.某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线 C 为：平面内动点 P 到定点 的
距离与到定直线 的距离之和为 6，点 P 的轨迹为曲线 C，则下列说法中正确的有( )
A. 曲线 C 关于 y 轴对称
B. 点 在曲线 C 的内部
C. 若点 在 C 上，则
D. 曲线 C 上到直线 和到点 F 的距离相等的点有无穷多个
11.已知函数 ，则下列命题中正确的是
A. 0 是 的极小值点
B. 有可能有三个零点
C. 当 时，
D. 若 存在极大值点 ，且 ，其中 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.对于随机事件 A，B，若 ， ， ，则 .
13.如图所示，已知 中，点 P，Q，R 依次是边 BC 上的三个四等分点，若 ， ，
则 .
14.如图所示，四边形 是边长为 2 的正方形 ABCD 在平面 上的投影 光线 、 、
、 互相平行 ，光线 与平面 所成角为 ，转动正方形 ABCD，在转动过程中保持 平面
且 ，若平面 ABCD 与平面 所成角为 ，且 ，则多面体 的
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体积的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
已知数列 的前 n 项和为 ，若 ，
求
若 ， 为数列 的前 n 项和，求
16. 本小题 15 分
记锐角 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
求
已知边 ，求 的取值范围.
17. 本小题 15 分
如图在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形， ， 平面 ABCD， ，
若 G 为 EC 中点，证明： 平面
在棱 EC 上有一点 M，且 M 到平面 BCF 的距离为 ，求二面角 的正弦值.
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18. 本小题 17 分
已知双曲线 的上下顶点分别是 M、N，过其上焦点 F 的直线 l 与双曲线的上支交于 P、Q 两
点 在 y 轴左侧
求直线 l 斜率的取值范围；
若 ，求直线 l 的方程；
探究直线 MP 和直线 NQ 的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由.
19. 本小题 17 分
1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商
的极限，算法之一为：若函数 和 满足下列条件：
① ，
②在点 a 的去心邻域内 与 可导，且
③ ，那么 据此回答下面问题：
求 的值，并用导数的定义证明：
已知
ⅰ 求函数 的单调递减区间;
ⅱ 若 对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围.
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数的模，复数的运算，属于基础题.
先计算 z，再求
【解答】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了交并补混合运算，属于基础题.
根据补集和并集的定义结合已知条件进行求解即可.
【解答】
解：因为 ， ，则 ，
又因为 ，则
故选
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了排列组合，属于基础题.
分两种情况进行讨论，结合组合知识进行求解即可.
【解答】
解：由题知共有两种情况，
第一种情况：美术、街舞都选，则需从剩余的三个社团中选择一个，共有 种选择方法;
第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的三个社团中选择两个，共有 种选择方法，
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故不同的选择方法共有 种.
故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用单调性求参，属于基础题.
根据对称性确定函数 的单调区间，再利用二次函数的性质即可.
【解答】
解：因为函数 与函数 的图象关于直线 对称，
若 在区间 内单调递增，则 在区间 上单调递减，
故 ，
解得：
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二倍角正弦、余弦、正切公式，属于中档题.
利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简即可.
【解答】
解： ，
，
，
，
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的概念及其前 n 项和公式，属于中档题.
首先得到第 n 个内切圆的半径和第 n 个正三角形的边长间的关系，进而得到内切圆半径间的关系为等比数
列，代入求和公式即可.
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【解答】
解：设第 n 个正三角形的内切圆半径为 ，第 n 个正三角形的边长为 ，
可知 正三角形内切圆半径是正三角形边长的 ，
又半径为 的圆内接三角形的边长 满足 ，
即 ，
所以 ， ，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的 ，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ，
设前 n 个内切圆的面积和为 ，则 ，
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用函数奇偶性求参，对数型函数定义域，属于中档题.
根据已知条件得到 ，求出 a，结合函数的定义域及 ，求出 b，进而可得结果.
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【解答】
解：函数 的定义域需满足 ，即 ，
又函数 为奇函数，其定义域关于坐标原点对称，即 ，解得 ，
所以定义域为
又 ，即 ，
所以
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的离心率，属于中档题.
AB 中点为 ，则 ， ，得到 AB 中垂线方程： ，得
出 ，进而可得结果.
【解答】
解：设 AB 中点为 ，则 ， ，
由题意，点 在线段 AB 中垂线上，
坐标代入椭圆方程得 ，所以 ，
所以 AB 中垂线方程： ，
令 ，则 ，又 ，
所以 ， ，
故选
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积，圆锥的体积，棱锥的体积，以及球的切接问题，属于中档题.
根据题干条件及所需知识点逐个分析即可.
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【解答】
解：对于 A，该圆锥的侧面积为 ，A 错误;
对于 B，该圆锥的体积为 ，B 正确;
对于 C，当 C 为中点时，体积最大为 1，C 正确;
对于 D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设为 ，球半径为 r，过 向 PB 作
垂线，垂足为 D，则 ，又 ，所以 ，所以
，D 正确，
故选：
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，属于中档题.
根据题意列等式，去根号和绝对值，即可求解曲线 C 的轨迹方程，从而对各选项逐一判断.
【解答】
解：设点 ，
因为点 P 到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 6，
所以 ，
当 时，得 ，
两边平方得 ，
当 时，得 ，
两边平方得 ，
对于 A，由图易知，两段抛物线弧均关于 y 轴对称，
故曲线 C 关于 y 轴对称，故 A 正确；
对于 B，如图，曲线 C 由两段抛物线弧组成，
在 中，
令 ，得 ，故点 不在曲线 C 的内部，故 B 错误；
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对于 C，若点 在 上，
得 ，所以 ，
若点 在 上，
同理得 ，故 C 正确；
D，F 为焦点， 为准线，故 D 正确.
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查导数中的零点问题，利用导数研究函数的极值，属于中档题.
讨论 a 的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断 A，B；当 时，利用导数得
到函数的单调性，判断 ， 的大小关系，进而判断 C；若 存在极大值点，则 ，即
，因为 ，化简等式，即可判断
【解答】
解：由题意可得 ，
令 ，当 时，得 或 ，
对于 A，当 时， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值 ，
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，
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所以 在 处取得极小值 ；
当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值 ，故 A 正确；
对于 B， 只有一个零点，故 B 错误；
对于 C，当 时， 在 上单调递减，
又 ， ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，若 存在极大值点，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 ，故 D 正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查条件概率的计算，属于基础题.
利用条件概率计算即可求解.
【解答】
解： ，且 ，
，
，
，
则
故答案为：
13.【答案】8
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【解析】【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，属于中档题.
利用平面向量的四则运算，得到 ，可得 ，，再化简 ，
即可求解.
【解答】
解：
， ，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间距离的计算，线面平行的判定与性质，线面垂直的判定，直线与平面所成的角，柱体的体
积公式，属于中档题.
首先证明多面体 为直四棱柱，再求出该棱柱的底面边长和高即可.
【解答】
解：因为 ， ， ，AB、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 为平行四边形，
所以 ，同理可得，
又因为 ，
所以多面体 为直四棱柱，
作 交 于点 M，所以平面 平面 ，
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又因为 平面 ，
所以
作 于 N，
所以 ，即 ，又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
所以 就是直线 与平面 所成角，
即 ，
所以
在 中由正弦定理得， ， ，
点 B 到直线 的距离为 ，
所以多面体 的体积
，
化简得 ，当且仅当 时取等.
故答案为
15.【答案】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
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，
又 ，
是以 为首项，2 为公比的等比数列，
，
，
又 时也满足上式，
；
，
，
，
【解析】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推关系，分组法求和，属于中档题.
利用数列的递推关系求解即可；
采用分组转化求和法求解即可.
16.【答案】解： 由 ，
可得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ；
由正弦定理可得 ，
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，
因为 为锐角三角形，则 ，解得 ，
，
所以 的取值范围是
【解析】本题考查正弦定理解三角形，属于中档题.
根据已知等式和正弦定理，化简即可求解.
利用正弦定理得 ，又 为锐角三角形，解得 ，从而得
到 的取值范围，从而得解.
17.【答案】解： 证明：连接 BD 交 AC 于 N，连接 GN，GF，
是菱形， ，且 N 是 AC 的中点，
且 ， ， ，
且 ， 四边形 BNGF 是平行四边形， ，
又 平面 ABCD， 平面 ABCD， ，
又因为 ，且 AC、 平面 EAC，
平面 EAC， 平面 EAC，
又 平面 EAC， ，
四边形 ABCD 是菱形， ， ，
，G 为 EC 中点，
，又因为 ，且 EC、 平面 EFC，
平面 EFC；
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， 平面 ABCD，
平面 ABCD 且 ，
以 N 为原点，NC，NB，NG 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ，
， ， ，
设平面 BCF 的法向量为 ，
则 ，
取 ，得到 x1 ，z1 ，
故平面 BCF 的一个法向量为 ，
M 在棱 CE 上，设 ，
点 M 到平面 BCF 的距离 ，
，故 ，
又 ， ，
设平面 MBD 的法向量为 ，
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，
取 ，得 y2 ，z2 ，
故平面 MBD 的一个法向量为 ，
又平面 ABCD 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
，
综上，二面角 的正弦值为
【解析】本题考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，线面垂直的判定，利用空间向量求点、线、
面之间的距离，线面垂直的性质，属于中档题.
利用几何关系得到 ， ，即可证明；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点，面之间的距离，即可求解 M 的位置，再利用向量法求解面，
面之间的夹角.
18.【答案】解： 当直线 l 的斜率不存在时，
此时直线 l 与双曲线交于上下顶点，与题意矛盾；
故直线 l 的斜率一定存在，
可设直线 l 的方程为： ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，
令 ，解得 ；
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依题 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，故 ，
直线方程为 ；
， ，
，
由 ，可知 ，
代入上式得 为定值.
【解析】 本题考查圆锥曲线与向量的综合，双曲线中定值问题，属于中档题.
设直线 l 的方程为： ， ， ，与双曲线方程联立，得 ，求解
即可；
由题意得 ，又 ，求解即可得 k，从而得到直线方程;
得到直线 MP 和直线 NQ 的斜率之比表达式，将根与系数表达式代入即可证明.
19.【答案】解： ，
依据导数的定义：
因为 ，定义域为 R，
所以 ，
令 ，解之得： ，
所以 的单调递减区间为 ，
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ⅱ 因为 对任意 恒成立，且当 时，不等式显然成立，
所以，当 时，原式可转化为 恒成立，
令 ，即 ，
因为 ，
令 ，
，
当 时， ，
， 在 上单调递减，
所以 ，
即 时 ，
所以 在 上单调递减，
，
所以 ，
当 时，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
综上可知：实数 a 的取值范围为
【解析】本题考查利用导数判断已知函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，以及导数的新定义问题，
属于较难题.
利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；
ⅰ 求导后解不等式即可；
ⅱ 转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可.
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