云南省昆明市第九中学2024-2025学年高三上学期10月质量监测数学试题

这是一份云南省昆明市第九中学2024-2025学年高三上学期10月质量监测数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
高三年级数学 试题卷
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
班级： 姓名： 准考证号： 座位号：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．2D．4
2．某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知正方形的边长为，，，则的值为（ ）
A．6B．3C．D．
5．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下（不含中国香港､中国台湾）：
中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数
根据以上数据，建立关于的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第33届（2024年巴黎奥运会）中国体育代表团金牌总数为（ ）
（精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：）；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
A．29B．33C．37D．45
7．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知方程，的根分别为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．与平面
C．与所成的角为D．平面
10．已知数列是公比为2的等比数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若是等比数列，则公比为
B．是公比为2的等比数列
C．
D．若，则
11．如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．点在上，则
C．点在椭圆上，若，则
D．过作轴的垂线交于两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 .
13．自然常数是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由，取2为弱值，3为强值，得，故为弱值，与上一次的强值3计算得，故为弱值，继续计算，，若某次得到的近似值为弱值，与上一次的强值继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为强值，与上一次的弱值继续计算得到新的近似值，依此类推，若，则 .
14．已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则 .
四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，内角所对的边分别为，已知为边上一点.
(1)若为的中点，且，求；
(2)若平分，且，求的面积.
16．在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.
(1)求证：；
(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.
17．已知函数.
（1）若函数f(x)的图像在的切线方程为，求的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）如果函数有两个不同的极值点，证明：.
18．羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲､乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.
(1)若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；
(2)假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率；
(3)用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
19．已知双曲线的离心率为，右焦点为.
(1)求的方程；
(2)设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点.
①证明：；
②设为坐标原点，求面积的最小值.
届数
第27届
第28届
第29届
第30届
第31届
第32届
届数代码
1
2
3
4
5
6
地点
2000年
悉尼
2004年
雅典
2008年
北京
2012年
伦敦
2016年
里约热内卢
2021年
东京
金牌数
28
32
48
38
26
38
参考答案
1．【详解】，则.故选：A.
2．【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，则
，，
设三项都参加的人数为，则，
因为
所以由，得，解得，
即三项都参加的人数为5人，故选：D
3．【详解】因为，，，所以.故选：D.
4．【详解】如图建立平面直角坐标，则，，，，
，，
．
故选：C．

5．【详解】如图，设点在底面的射影为点，
因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上，
连接，设球的半径为，则，
由正弦定理，解得，
在中，，则，
在中，由，解得，
则球的表面积为.故选：B.
6．【详解】，
，所以，
所以关于的线性回归方程为.
2024年对应，代入回归方程得，
故选：C.
7．【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，
所以，故，
又，故，故选：B.
8．【详解】由题意得，，
令，则，
又恒成立，
故在R上单调递增，
故，
所以.故选：B
9.【详解】对A：连接，，则交于，又为中点，
可得，由平面，平面，
可得，故，故A正确；
对B：连接，，由正方体性质可知平面，
可得平面，故B正确；
对C：与所成角就是，连接，
由正方体性质可知，即为等边三角形，
故，即与所成的角为，故C错误；
对D：由，平面，平面，
故平面，故D正确．
故选：ABD．
10．【详解】数列是公比为2的等比数列，且，
得，则，因为，则，且.
若an是等比数列，则，故，所以公比，A错误；
由，故，即，故是公比为2的等比数列，B正确；
同理，数列是公比为2的等比数列，由，则，C正确；
由，则，设为偶数，则，同理设为奇数，则，
所以，D正确，故选：BCD.
11．【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；
对选项B，点在上，
则，
化简得，所以，，B错误；
对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，
则，又，所以，
故，所以，C正确；
对选项D，设，则，
因为，则，又，
所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，
故选：ACD
12．【详解】设等差数列的公差为，
因为，且成等比数列，可得，
即，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
13．【详解】因为为弱值，则与上一次的强值3计算得为强值，
与上一次的弱值计算得为弱值，
与上一次的强值计算得为强值，
与上一次的弱值计算得，故.
故答案为：.
14．【详解】由，可化为，则圆心，
设圆的半径为且，则，
当时，的最大值为，
不妨取直线的方程为，因为，
所以点到直线的距离为，所以，解得，
又由，可得，解得.故答案为：.
15．【详解】（1）在中，，
因为为的中点，所以CD=12CA+CB，
两边平方得，
则，
解得.
（2）因为平分，所以，
又，
所以，解得，
所以.
16．【详解】（1）如图，连接，，
因为为母线，
所以,
又平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
又因为平面平面，平面平面，
所以，
因为是的中点，
所以是的中点，
即.
（2）如下图，作，，.
设到的距离为，则到的距离为.
设，则有，，
，
，，
因为，
所以.
因为平面，
所以到平面的距离即是到平面的距离，即.
所以，
解得.
所以.
17．【详解】试题分析：（1）求出原函数的导数，根据，求出的值后代入原函数，再由，即可求解的值；（2）由题意，即恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求解的单调性及最小值，即可求解实数的取值范围；（3）由已知，则，是函数g(x)的两个不同极值点，转化为有两个不同的实数根，即，设，利用导数得到的单调性及最值，即可证明.
试题解析：（1），由题知
；
（2）由题意，即恒成立，恒成立
设
当变化时，的变化情况如下表：
（3）由已知
，是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设）
有两个不同的实数根
当时，方程不成立，则，令
由得：
当变化时，的变化情况如下表：
当，方程至多有一解，不合题意；
当时，方程若有两个解，则，所以.
18．【详解】（1）依题意，的所有可取值为.
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
，
.
所以的分布列为
故的数学期望为.
（2）设第一局比赛甲获胜为事件，
则，
由（1）知，，
由全概率公式得：，
即，解得，所以.
（3）.由（2）知，估计每一局甲获胜的概率均为，
设甲获胜时比赛的总局数为，因为每一局比赛的结果相互独立，
所以，，
故该场比赛甲获胜的概率为.
19．【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由题意知，而，解得，
由，所以的方程为.
（2）由，消去得，
由题意得，化简得.
则，故，
因为点在第一象限，所以，则.
将代入，得.
①由已知，所以，
所以.
②设直线与轴的交点为，则，
所以的面积为，
由，所以，
设，则，
令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为.
所以当时，面积的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
B
C
B
B
ABD
BCD
题号
11









答案
ACD









0
1
2